冪

  此条目页的主題是代数概念。关于几何定理，請見「圆幂定理」。

本條目被提議拆分為「乘方运算」和「幂」。（討論） (2022年10月23日)

此條目需要补充更多来源。 (2014年2月28日) 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。 致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索："冪" — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。

bn
记号
底数${\displaystyle b}$ 与 指数${\displaystyle n}$

算术运算 查 论 编

加法 (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{项 }}\,+\,{\text{项}}\\\scriptstyle {\text{加 数 }}\,+\,{\text{加 数}}\\\scriptstyle {\text{被 加 数 }}\,+\,{\text{加 数}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{和 }}}$ 減法 (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{项 }}\,-\,{\text{项}}\\\scriptstyle {\text{被 减 数 }}\,-\,{\text{减 数 }}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{差 }}}$ 乘法 (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{因 数 }}\,\times \,{\text{因 数 }}\\\scriptstyle {\text{被 乘 数 }}\,\times \,{\text{乘 数 }}\\\scriptstyle {\text{（ 英 文 中 ） }}{\text{乘 数 }}\,\times \,{\text{被 乘 数 }}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{积 }}}$ 除法 (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{被 除 数 }}}{\scriptstyle {\text{除 数 }}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{分 子 }}}{\scriptstyle {\text{分 母 }}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{商 }}\\\scriptstyle {\text{比 值 }}\end{matrix}}}$ 模除 (mod) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{被 除 数 }}\,mod\,{\text{除 数}}\,\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{余 数 }}}$ 乘方 (^) ${\displaystyle \scriptstyle {\text{底 数 }}^{\text{指 数 }}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{幂 }}}$ n 次方根 (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{根 指 数 }}]{\scriptstyle {\text{被 开 方 数 }}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{根 }}}$ 对数 (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{底 }}({\text{真 数 }})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{对 数 }}}$

查 论 编

在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂^[1]（英語：mathematical power，power）；由此，若 ${\displaystyle n}$ 為正整數，${\displaystyle n}$ 个相同的数 ${\displaystyle b}$ 连续相乘（即 ${\displaystyle b}$ 自乘 ${\displaystyle n}$ 次），就可将 ${\displaystyle b^{n}}$ 看作乘方的结果 ——“幂”。

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

幂運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪^[2]，是數學運算，表達式為 ${\displaystyle b^{n}}$，讀作「${\displaystyle b}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次方」或「${\displaystyle b}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次幂」。其中，${\displaystyle b}$ 稱為底數，而 ${\displaystyle n}$ 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在編程語言或電子郵件中，${\displaystyle b^{n}}$ 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。

當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“${\displaystyle b}$ 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“${\displaystyle b}$ 的立方”。

由於在十进制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂則在計算機科學中相當重要。

起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（${\displaystyle b}$）自乘指數（${\displaystyle n}$）這麼多次^{[需要解释]}。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

${\displaystyle b^{0}=1\qquad (b\neq 0)}$

${\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)}$。

若以分數為指數的冪，則定義：

${\displaystyle b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}$，

即 ${\displaystyle b}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次方再开 ${\displaystyle m}$ 次方根。

0的0次方（${\displaystyle 0^{0}}$）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。

此外，當 ${\displaystyle n}$ 是複數，且 ${\displaystyle b}$ 是正實數時，

${\displaystyle b^{n}=\exp(n\ln(b))}$

exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

${\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}$

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除(${\displaystyle b}$不為0)：

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$

• ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}$
• ${\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}$
• ${\displaystyle x^{1}=x\,\!}$
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}$

加法和乘法存在交换律，比如：${\displaystyle 2+3=5=3+2}$，${\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2}$，但是幂的运算不存在交换律，${\displaystyle 2^{3}=8}$，但是${\displaystyle 3^{2}=9}$。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：${\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}$，${\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)}$。不過，冪運算沒有結合律：${\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}$，而${\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}$，所以${\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}}$。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：

• ${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$
• ${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}$
• ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

表达式${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$被称作${\displaystyle a}$的平方，因为边长为${\displaystyle a}$的正方形面积是${\displaystyle a^{2}}$。

表达式${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$被称作${\displaystyle a}$的立方，因为邊长为${\displaystyle a}$的正方体体积是${\displaystyle a^{3}}$。

所以${\displaystyle 3^{2}}$读作「3的平方」，${\displaystyle 2^{3}}$读作「2的立方」。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如${\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}$，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

${\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}$

注意${\displaystyle 3^{1}}$表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意${\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}$，${\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}$，${\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}$，${\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}$，

继续，得到${\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}$，所以${\displaystyle 3^{0}=1}$

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则${\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}$

当${\displaystyle m=n}$时，${\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}$

• 任何数的1次方是它本身。

${\displaystyle 0^{0}}$ 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是${\displaystyle 0^{0}=1}$ ，在程式语言中（python） ${\displaystyle 0**0=1}$

在这里给出这一种极限的看法

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}$ 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}$

对于非零${\displaystyle a}$定义

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$,

而${\displaystyle a=0}$时分母為 0 没有意义。

证法一：

根据定义${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$，当${\displaystyle m=-n}$时

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,}$

得${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1}$, 所以${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$。

证法二：

通过运算法则${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

当${\displaystyle m=0}$时，可得${\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}$

负数指数${\displaystyle a^{-n}}$还可以表示成1连续除以${\displaystyle n}$个${\displaystyle a}$。比如：

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$.

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：${\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}$

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 ${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$，近似值 ${\displaystyle 2.998\times 10^{8}}$ 或 ${\displaystyle 3\times 10^{8}}$

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 ${\displaystyle 10^{3}}$，词头“毫”就是 ${\displaystyle 10^{-3}}$

1的任何次幂都为1。

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。^[3]但某些教科書表示0的0次方為無意義。^[4]也有人主張定義為1。

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当${\displaystyle a>1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to \infty }$

当${\displaystyle a<-1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to -\infty }$ 或 ${\displaystyle \infty }$ , (視乎n 是奇數或偶數)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当${\displaystyle |a|<1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to 0}$

1的幂永远都是1

当${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle a^{n}\to 1}$

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当${\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}$

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
• 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

一个数${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根是${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$使${\displaystyle x^{n}=a}$。

如果${\displaystyle a}$是一个正实数，${\displaystyle n}$是正整数，那么方程${\displaystyle x^{n}=a}$只有一个正实数根。 这个根被称为${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，记作：${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$，其中${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$叫做根号。或者，${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根也可以写成${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}$. 例如${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}$

当指数是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$时根号上的2可以省略，如：${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}$

有理数指数幂定义为

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

指数函数的定义是：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

可以很简单地证明e的正整数k次方${\displaystyle e^{k}}$是：

${\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$

${\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$

${\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}}$

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成^[5]：

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}$

例如：

${\displaystyle x\approx 1.732}$

于是

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数${\displaystyle \ln {x}}$是指数函数${\displaystyle e^{x}}$的反函数。 它的定义是：对于任意${\displaystyle b>0}$，满足

${\displaystyle b=e^{\ln b}}$

根据对数和指数运算的规则：

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$

这就是实数指数幂的定义：

${\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}$

实数指数幂${\displaystyle b^{x}}$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

如果${\displaystyle a}$是负数且${\displaystyle n}$是偶数，那么${\displaystyle x=a^{n}}$是正數。如果${\displaystyle a}$是负数且${\displaystyle n}$是奇数，那么${\displaystyle x=a^{n}}$是负数。

使用对数和有理数指数都不能将${\displaystyle a^{k}}$（其中${\displaystyle a}$是负实数，${\displaystyle k}$实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$（${\displaystyle n}$是奇数）可以使用${\displaystyle n}$次方根来计算，但是因为没有实数${\displaystyle x}$使${\displaystyle x^{2}=-1}$，对于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$（${\displaystyle n}$是偶数）时必须使用虚数单位${\displaystyle i}$。

使用对数的方法不能定义${\displaystyle a\leq 0}$时的${\displaystyle a^{k}}$为实数。实际上，${\displaystyle e^{x}}$对于任何实数${\displaystyle x}$都是正的，所以${\displaystyle \ln(a)}$对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数${\displaystyle a}$因为它依赖于连续性。函数${\displaystyle f(r)=a^{r}}$对于任何正的有理数${\displaystyle a}$是连续的，但是对于负数${\displaystyle a}$，函数${\displaystyle f}$在有些有理数${\displaystyle r}$上甚至不是连续的。

例如：当${\displaystyle a=-1}$，它的奇数次根等于-1。所以如果${\displaystyle n}$是正奇数整数，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}$当${\displaystyle m}$是奇数，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}$当${\displaystyle m}$是偶数。虽然有理数${\displaystyle q}$使${\displaystyle -1^{q}=1}$的集合是稠密集，但是有理数${\displaystyle q}$使${\displaystyle -1^{q}=-1}$的集合也是。所以函数${\displaystyle -1^{q}}$在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成複數，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

複數运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解${\displaystyle e^{ix}}$（${\displaystyle x}$是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形${\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}$（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的${\displaystyle n}$，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于${\displaystyle {\frac {x}{n}}}$弧度。对于所有${\displaystyle k}$，三角形${\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}$互为相似三角形。所以当${\displaystyle n}$足够大时${\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}$的极限是复数平面上的单位圆上${\displaystyle x}$弧度的点。这个点的极坐标是${\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}$，直角坐标是${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$。所以${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式${\displaystyle e^{z}=1}$的解是一个整数乘以${\displaystyle 2i\pi }$^[6]：

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$

更一般地，如果${\displaystyle e^{b}=a}$，那么${\displaystyle e^{z}=a}$的每一个解都可以通过将${\displaystyle 2i\pi }$的整数倍加上${\displaystyle b}$得到：

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$

这个复指数函数是一个有周期${\displaystyle 2i\pi }$的周期函数。

更简单的：${\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$。

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

${\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}$

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

${\displaystyle e^{x+iy}}$可以分解成${\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}$。其中${\displaystyle e^{x}}$是${\displaystyle e^{x+iy}}$的模，${\displaystyle e^{iy}}$决定了${\displaystyle e^{x+iy}}$的方向

如果${\displaystyle a}$是一个正实数，${\displaystyle z}$是任何复数，${\displaystyle a^{z}}$定义成${\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}$，其中${\displaystyle x=\ln(a)}$是方程${\displaystyle e^{x}=a}$的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

${\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i}$

${\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i}$

${\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i}$

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}$

让我们从一个简单的例子开始：计算${\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}$的得法参见上文正实数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算${\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}$

复数的复数幂必须首先化为底数为${\displaystyle e}$的形式：

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}$

又，由复数的极坐标表示法：

${\displaystyle w=re^{i\theta }}$

故

${\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}$。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角${\displaystyle \theta }$的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如${\displaystyle f^{3}(x)}$即${\displaystyle f(f(f(x)))}$。特別地，${\displaystyle f^{-1}(x)}$指${\displaystyle f(x)}$的反函數。

但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如：${\displaystyle (\sin x)^{-1}}$表示${\displaystyle \csc x}$。因此在三角函數時，使用${\displaystyle \sin ^{-1}x}$來表示${\displaystyle \sin x}$的反函數${\displaystyle \arcsin x}$。

最快的方式计算${\displaystyle a^{n}}$，当${\displaystyle n}$是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

double power(double a, unsigned int n) {     double y = 1;     double f = a;     while (n > 0) {        if (n % 2 == 1) y *= f;        n >>= 1;        f *= f;     }     return y; } 

此算法的時間複雜度為${\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}$，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為${\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}$），在${\displaystyle n}$較大的時候更為顯著。

例如計算${\displaystyle a^{100}}$，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算${\displaystyle a^{n}(n<0)}$可先以上述算法計算${\displaystyle a^{|n|}}$，再作倒數。

• 迭代冪次

• 指數的歷史