伽利略变换

伽利略變換是经典力学中用以在兩個只以匀速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論效應下，伽利略变换在物體以接近光速運動时不成立^[1]，在電磁系統中也不会成立。^[2]

伽利略·伽利莱在解釋匀速運動時制定了這一套概念。^[3]他用其解釋球體滾下斜面這一力學問題，並測量出地球表面引力加速度的數值。

在狭义相对论中，伽利略变换被庞加莱变换所取代；相反，庞加莱变换的经典极限c →∞中的群收缩产生了伽利略变换。

伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛伦兹变换中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中${\displaystyle (x,y,z,t)}$和${\displaystyle (x',y',z',t')}$分別為同一個事件在兩個坐標系${\displaystyle S}$和${\displaystyle S'}$中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（速度為${\displaystyle v}$），運行方向為${\displaystyle x}$和${\displaystyle x'}$，原點在時間${\displaystyle t=t'=0}$時重合。 ^{[4] [5] [6] [7]}

${\displaystyle x'=x-vt\,}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle t'=t\,}$

最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

${\displaystyle (x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.}$

雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動複合而成的函數。^[8]設x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對(x,t)。速度為v的匀速運動表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}$，其中v在R³內。平移表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}$，其中a在R³內，b在R內。旋轉表達為${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}$，其中G : R³ → R³為某正交變換。^[8]作為一個李群，伽利略變換的維度為10。^[8]

这三种变换可更加数学化地表达为伽利略群^[9]。首先G为SO(3)中的旋转矩阵，3维内积在G的作用下保持不变，表达为:${\displaystyle <G{\overrightarrow {x}},G{\overrightarrow {y}}>=<{\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}>\,\!}$设在某t时刻有映射${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}$将空间上的某一点x映射到另一点${\displaystyle G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}$上。可证得${\displaystyle \varphi _{t}}$构成一个群。
结合律：${\displaystyle \varphi _{t}}$为线性映射，线性映射满足结合律。

单位元：${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}}$

逆映射：${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)^{-1}=\varphi _{t}(-G^{-1}{\overrightarrow {a}},-G^{-1}{\overrightarrow {b}},G^{-1})}$

封闭性：${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{t}({\overrightarrow {a'}},{\overrightarrow {b'}},G')\circ \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)({\overrightarrow {x}})=GG'{\overrightarrow {x}}+(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}})+(G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}})\cdot t\\=\varphi _{t}(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}},G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}},GG')({\overrightarrow {x}})\end{aligned}}}$ 对应的有：
空间平移：${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}}$
速度变换：${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {b}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}$
空间旋转：${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},G)({\overrightarrow {x}})=G{\overrightarrow {x}}}$
${\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}$为不含时伽利略群，加上时间平移${\displaystyle t\mapsto t+t_{0}}$后映射${\displaystyle ({\overrightarrow {x}},t)\mapsto (\varphi _{t},t+t_{0})=(G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t,t+t_{0})}$构成一个完整伽利略群，其依旧满足群的性质。完整伽利略群具有10个生成元，分别为3个空间平移(x,y,z)，3个空间转动(对应3个坐标基矢），3个速度，以及一个时间平移。

這裡我們只考慮伽利略群的李代數。結果能夠輕易延伸到李群。L的李代數由H、P_i、C_i和L_ij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中

${\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}$

H為時間平移的生成元（哈密顿算符），P_i為平移的生成元（動量算符），C_i為伽利略變換的生成元，而L_ij為旋轉的生成元（角動量算符）。

現在我們可以對H'、P'_i、C'_i、L'_ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，「中心擴張」因此得名）：

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}$

• 洛伦兹群
• 龐加萊群