劉維爾函數

  此條目介紹的是數論中的劉維爾函數。关于名為Liouvillian function的函數，请见「劉維爾函數 (微積分)」。

劉維爾函數（Liouville function）${\displaystyle \lambda (n)}$是算術函數。對於正整數n，

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

其中${\displaystyle \Omega (n)}$表示${\displaystyle n}$的質因子數目（可重覆）（${\displaystyle \Omega (n)}$表示素数Omega函数（英语：Prime_omega_function））。因為${\displaystyle \Omega (n)}$是完全加性函數，所以${\displaystyle \lambda (n)}$是完全積性函數。（OEIS:A008836）

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1\\0\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle n}$是平方數
	若${\displaystyle n}$非平方數。

對於狄利克雷卷積，${\displaystyle \lambda }$的逆函數為${\displaystyle |\mu (n)|}$，其中${\displaystyle \mu }$為默比烏斯函數。

λ和μ的關係還有：${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right)}$

1919年，喬治·波利亞猜想對於正整數${\displaystyle n>1}$，${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$。1980年，田中實（日语：田中實）找到反例${\displaystyle n=906150257}$。

• http://eom.springer.de/L/l059620.htm（页面存档备份，存于互联网档案馆）

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