覆盖 (拓扑学)

在数学中，若 ${\displaystyle X}$ 是一個集合类 ${\displaystyle C}$ 中并集的子集，則集合类 ${\displaystyle C}$ 是集合 ${\displaystyle X}$ 的覆盖。用符号来说，如果 ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }\rbrace _{\alpha \in A}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的子集索引族，则 ${\displaystyle C}$ 是如下条件下的覆盖（定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁）

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$。

更一般的说，如果 ${\displaystyle Y}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的子集，而 ${\displaystyle C}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ 的搜集，它的并集包含 ${\displaystyle Y}$，则 ${\displaystyle C}$ 被称为是 ${\displaystyle Y}$ 的覆盖。也就是 ${\displaystyle C}$ 是 ${\displaystyle Y}$ 的覆盖如果

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq Y}$ 。

覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合 ${\displaystyle X}$ 是拓扑空间，我们称 ${\displaystyle C}$ 是开覆盖，如果它的每个成员都是开集（就是说每个 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ 都包含在 ${\displaystyle T}$ 中，这里的 ${\displaystyle T}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑）。

如果 ${\displaystyle C}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的覆盖，则 ${\displaystyle C}$ 的子覆盖是 ${\displaystyle C}$ 的仍覆盖 ${\displaystyle X}$ 的子集。

${\displaystyle X}$ 的开覆盖被称为是局部有限的，如果对任意 ${\displaystyle X}$ 的点${\displaystyle x}$ 都存在一个邻域，其只与这个覆盖中有限多个集合有交集。用符号来说，${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$ 是局部有限的，如果对于任何 ${\displaystyle x\in X}$，存在某个 ${\displaystyle x}$ 的邻域 ${\displaystyle N\left(x\right)}$ 使得集合

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \emptyset \right\}}$

是有限的。

${\displaystyle X}$ 的覆盖 ${\displaystyle C}$ 的精細（或稱加細）是 ${\displaystyle X}$ 的新覆盖 ${\displaystyle D}$ ，使得在 ${\displaystyle D}$ 中的任意的一個集合，都包含在 ${\displaystyle C}$ 的某个集合中。

用符号来说，有 覆盖 ${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$ 、 ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ，如果对任意的 ${\displaystyle V_{\beta }}$ ，都存在某个 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ 使得 ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$，我們則說 ${\displaystyle D}$ 是覆盖 ${\displaystyle C}$ 的精細。

所有子覆盖也是精細，反之不然。但是注意一般的说精細将比原始覆盖有更多的集合。

覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

• 紧致的，如果所有开覆盖有有限子覆盖。
• 林德勒夫的，如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
• 元紧致的，如果所有开覆盖都有一个点有有限开精細。
• 仿紧致的，如果所有开覆盖允许局部有限、精細。

1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 （英语）.