快樂數

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快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例：

2 8 → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 2 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1}$

3 7 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

5 6 → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61}$ → ${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37}$ → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$ → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$ → ${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$ → ${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$ → ${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$ → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$ → ${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$ → ${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

以下是小於100的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

以下是100到小於200的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

以下是200到小於300的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

以下是300以內的快樂數因數。

由表格可知：

• 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
• 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
• 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
• 1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
• 1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
• 1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

在十進位下，300以內的快樂質數有（OEIS數列A035497）：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

• 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS數列A239320）

• 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS數列A240849）

• 任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

（OEIS數列A161871）

• 2进制
  • 每個數都是快樂數

• 3进制
  • 2 → 11 → 2

    在十进制中為2 → 4 → 2

• 4进制
  • 每個數都是快樂數

• 5进制
  • 4 → 31 →20 → 4

    在十进制中為4 → 16 → 10 → 4

  • 23 → 23

    在十进制中為13 → 13

• 6进制
  • 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5

    在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

• 7进制
  • 2 → 4 → 22 → 11 → 2

    在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2

  • 34 → 34

    在十进制中為25 → 25

• 8进制
  • 4 → 20 → 4

    在十进制中為4 → 16 → 4

  • 5 → 31 → 12 → 5

    在十进制中為5 → 25 → 10 → 5

  • 32 → 15 → 32

    在十进制中為26 → 13 → 26

• 9进制
  • 58 → 108 → 72 → 58

    在十进制中為53 → 89 → 65 → 53

  • 55 → 55

    在十进制中為50 → 50

• 10进制
  • 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

• 11进制
  • 75 → 68 → 91 → 75

    在十进制中為82 → 74 → 100 → 82

  • 23 → 12 → 5 → 23

    在十进制中為25 → 13 → 5 → 25

• 12进制
  • 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22

    在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26

  • 21 → 5 → 21

    在十进制中為25 → 5 → 25

• 13进制
  • 79 → A0 → 79

    在十进制中為100 → 130 → 100

  • 36 → 36

    在十进制中為45 → 45

  • B2 → 98 → B2

    在十进制中為145 → 125 → 145

  • 67 → 67

    在十进制中為85 → 85

  • 14 → 14

    在十进制中為17 → 17

• 16进制
  • D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D

    在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

• 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
• 通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。^[1]
• 十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

#ishappy number  def ishappy(n):     a = []     while n not in a:         a.append(n)         n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])              return 'happy' if n == 1 else 'unhappy' 

• 幸福數（英语：Fortunate number）
• 哈沙德數
• 幸運數

• Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕

1. ^ Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836 .