拉馬努金求和(英語:Ramanujan summation)是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧,指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念,其在探討發散級數上極有用處;因為在此情形下,傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。
拉馬努金求和法本質上是部分和的性質,而非整個數列的級數和性質,後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則,可得:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829db6259d5defea1c87bfc8f76689be8a104307)
拉馬努金寫道:[1]當p趨近於無限大,
,
其中C是此級數的特定常數,然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較,並假設R趨近於0,而x趨近於無限大;當一函數 f(x) 在x = 0不發散:
![{\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec353a2e31a4eb9382814d8c1ddb24cbc720b0dc)
其中拉馬努金假設
。若設
,可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 f(x) 在x = 1不發散,可得:
![{\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f10a278583b916c8f42703c8fdc319c90b62d70)
C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。
下文中,
表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本,筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。
舉例來說,1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的
為:
。
拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念[2][3],亦即部分和不會收斂到
這個值。
又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉馬努金和
:
![{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404812a9e4930a9a3e1f567da4a50c7620285471)
延伸至正偶數冪,可得:
![{\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa4b83347b7c289449bebc5b8abc98f21ffb392)
而奇數冪的結果則與伯努利數有關:
![{\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196a0fdc38da503955e9fba1cbedea571c40b5d9)
目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果,以其可保證一個級數
允許唯一的拉馬努金求和結果。[4]
如此拉馬努金求和的定義(標作
)與早期拉馬努金求和C(0)不相同,也與收斂級數求和的結果不相同;但其帶有有趣的性質:若R(x)趨近於一個有限值極限,當x → +1,則此級數
是收斂的,而可得
。
特別是如下例子:
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e1712c45fb933fe94d91fd3c7520c5721e8baa)
其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。
拉馬努金求和可以延伸至積分:舉例來說,運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出
,
此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。
迭代方程式為有限的,因為當
,
;
其中
(參見:黎曼ζ函數正規化。)
要是
,拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法,得到有限值的結果。
- ^ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 互联网档案馆的存檔,存档日期2006-10-12., Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
- ^ The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. [20 January 2014]. (原始内容存档于2017-06-06).
- ^ Infinite series are weird. [20 January 2014]. (原始内容存档于2020-11-08).
- ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation (页面存档备份,存于互联网档案馆), Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.