普林姆算法

普里姆算法（英語：Prim's algorithm）是图论中的一种贪心算法，可在一个加权连通图中找到其最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家羅伯特·C·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

描述[编辑]

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

输入：一个加权连通图，其中顶点集合为 $V$ ，边集合为 $E$ ；
初始化： $V_{\text{new}}=\{x\}$ ，其中 $x$ 为集合 $V$ 中的任一节点（起始点）， $E_{\text{new}}=\{\}$ ；
重复下列操作，直到 $V_{\text{new}}=V$ $V_{\text{new}}=V$ ：
1. 在集合 $E$ 中选取权值最小的边 $(u,v)$ ，其中 $u$ 为集合 $V_{\text{new}}$ 中的元素，而 $v$ 则是 $V$ 中没有加入 $V_{\text{new}}$ 的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
2. 将 $v$ 加入集合 $V_{\text{new}}$ 中，将 $(u,v)$ 加入集合 $E_{\text{new}}$ 中；
输出：使用集合 $V_{\text{new}}$ 和 $E_{\text{new}}$ 来描述所得到的最小生成树。

时间复杂度[编辑]

最小边、权的数据结构	时间复杂度（总计）
邻接矩阵、搜索	$O(\|V\|^{2})$
二叉堆（后文伪代码中使用的数据结构）、邻接表	$O((\|V\|+\|E\|)\log \|V\|)=O(\|E\|\log \|V\|)$
斐波那契堆、邻接表	$O(\|E\|+\|V\|\log \|V\|)$

通过邻接矩阵图表示的简易实现中，找到所有最小权边共需 $O(|V|^{2})$ 的运行时间。使用简单的二叉堆与邻接表来表示的话，普里姆算法的运行时间则可缩减为 $O(|E|\log |V|)$ ，其中 $|E|$ 为连通图的边集大小， $|V|$ 为点集大小。如果使用较为复杂的斐波那契堆，则可将运行时间进一步缩短为 $O(|E|+|V|\log |V|)$ ，这在连通图足够密集时（当 $|E|$ 满足 $\Omega (|V|\log |V|)$ 条件时），可较显著地提高运行速度。

例示[编辑]

说明	不可选	可选	已选
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E距D為15，F距D為6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

证明[编辑]

已知图G的边数量为numEdge, 顶点数量为numVert, prim生成的树为T₀, 最小生成树（MST）为T_min

则有，cost(T_min)<=cost(T₀)

设： T₀ 的 numVert-1 条边按照权重由小到大排列依次为：e_k₁, e_k₂, e_k₃, ..., e_{k_n}

T_min 的 numVert-1 条边按照权重由小到大排列依次为：e_g₁, e_g₂, e_g₃, ..., e_{g_n}

其中n=numVert-1

两棵树的边从小到大权重比较，设第一个属于 T₀ 但不属于 T_min 的边为 e_d₁, 连接该边的两个顶点为 (v_s, v_e₁)

同时存在第一个属于 T_min 但不属于 T₀ 且以v_s为顶点的边，记为 e_d₂, 连接该边的两个顶点为 (v_s, v_e₂)。

两个边的起点相同。由Prim算法性质可知，w(e_d₂) >= w(e_d₁)

此时，在 T_min 中删除 e_d₂ ，添加 e_d₁，边的数量和顶点数量均不变，且不存在环，因此得到新的生成树T_new,且cost(T_min)>=cost(T_new)

又因为 T_min 是MST 所以 cost(T_min)=cost(T_new)。

以此类推，cost(T_min)=cost(T₀)

T₀是最小生成树，得证.

各語言程序代码[编辑]

Pascal語言程序[编辑]

部分主程序段：

procedure prim(v0:integer); var    lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;    i,j,k,min,ans:integer;     for i:=1 to n do     begin      lowcost[i]:=cost[v0,i];      closest[i]:=v0;    end;    for i:=1 to n-1 do      begin       min:=maxint;       for j:=1 to n do          if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then           begin             min:=lowcost[j];             k:=j;          end;       inc(ans, lowcost[k]);       lowcost[k]:=0;       for j:=1 to n do          if cost[k,j]<lowcost[j] then           begin             lowcost[j]:=cost[k,j];             closest[j]:=k;          end;    end;  writeln(ans); end;

C语言代码[编辑]

//来源：严蔚敏 吴伟民《数据结构(C语言版)》  void MiniSpanTree_PRIM (MGraph G, VertexType u) {     /*  用普利姆算法從第u個頂點出發構造網G 的最小生成樹T,輸出T的各條邊。         記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組定義：         struct         {             VertexType adjvex;             VRtype lowcost;         }closedge[MAX_VERTEX_NUM];     */          k = LocateVex(G, u);     for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++) {           //輔助數組初始化         if (j != k)             closedge[j] = {u, G.arcs[k][j].adj}; //{adjvex, lowcost}     }     closedge[k].lowcost = 0;                 //初始，U={u}     for (i = 1; i < G.vexnum ; i++) {           //選擇其餘G.vexnum -1 個頂點         k = minimum(closedge);              //求出T的下個結點：第k結點         //  此时 closedge[k].lowcost = MIN{ closedge[Vi].lowcost|closedge[Vi].lowcost>0,Vi∈V-U}         printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]);    //輸出生成樹的邊         closedge[k].lowcost = 0;             //第k條邊併入U集         for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {                      //新頂點併入U後重新選擇最小邊             if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost && closedge[j].lowcost!=0)                  closedge[j] = {G.vex[k], G.arcs[k][j].adj};         }     } }

//来源： 浙大-陈越 《数据结构》  #define ERROR -1 Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] ) {     /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */          Vertex MinV, V;     WeightType MinDist = INFINITY;      for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {         if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {             /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */             MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */             MinV = V; /* 更新对应顶点 */         }     }     if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */         return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */     else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */ }  int Prim( MGraph Graph, LGraph MST ) { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */     WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;     Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;     int VCount;     Edge E;      /* 初始化。默认初始点下标是0 */        for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {         /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */            dist[V] = Graph->G[0][V];            parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */     }     TotalWeight = 0; /* .      ..........初始化权重和     */     VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */     /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */     MST = CreateGraph(Graph->Nv);     E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */      /* 将初始点0收录进MST */     dist[0] = 0;     VCount ++;     parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */      while (1) {         V = FindMinDist( Graph, dist );         /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */         if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */             break;   /* 算法结束 */          /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */         E->V1 = parent[V];         E->V2 = V;         E->Weight = dist[V];         InsertEdge( MST, E );         TotalWeight += dist[V];         dist[V] = 0;         VCount++;          for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */             if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {             /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */                 if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {                 /* 若收录V使得dist[W]变小 */                     dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */                     parent[W] = V; /* 更新树 */                 }             }     } /* while结束*/     if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */        TotalWeight = ERROR;     return TotalWeight;   /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ }

Python语言实现[编辑]

此份源码使用了堆优化

from queue import PriorityQueue as priority_queue from math import inf class Node:     def __init__(self,id,**kwargs):         self.id = id         self.fst = self.lst = None      def __iter__(self):         return NodeIterator(self)      def __repr__(self):         return "Node(%d)"%self.id  class NodeIterator:     def __init__(self,Node):         self.prst = Node.fst      def __next__(self):         if self.prst == None:             raise StopIteration()         ret = self.prst         self.prst = self.prst.nxt         return ret  class Edge:     def __init__(self,fr,to,**kwargs):         if fr.fst == None:             fr.fst = self         else:             fr.lst.nxt = self         fr.lst = self         self.to = to         self.nxt = None         self.w = 1 if 'w' not in kwargs else kwargs['w']      def __repr__(self):         return "Edge({},{},w = {})",format(self.fr,self.to,self.w)  class Graph:     def __init__(self,V):         self.nodecnt = V         self.nodes = [Node(i) for i in range(V)]         self.edges = []      def add(self,u,v,**kwargs):         self.edges.append(Edge(self.nodes[u],self.nodes[v],**kwargs))      def MST_prim(self,begin):         '''         prim algorithm on a graph(with heap),         returns the weight sum of the tree         or -1 if impossible         '''         q = priority_queue()         vis = [False for _ in range(self.nodecnt)]         q.put((0,begin))         ret = 0         while not q.empty():             prst = q.get()             if vis[prst[1]]:                 continue             vis[prst[1]] = True             ret += prst[0]             for i in self.nodes[prst[1]]:                 if not vis[i.to.id]:                     q.put((i.w,i.to.id))         if all(vis):             return ret         else:             return -1

Java语言实现[编辑]

import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.List;  public class Prim {     public static List<Vertex> vertexList = new ArrayList<Vertex>();//结点集     public static List<Edge> EdgeQueue = new ArrayList<Edge>();//边集     public static List<Vertex> newVertex = new ArrayList<Vertex>();//已经 访问过的结点      public static void main(String[] args) {         primTree();     }     public static void buildGraph() {         Vertex v1 = new Vertex("a");         Prim.vertexList.add(v1);         Vertex v2 = new Vertex("b");         Prim.vertexList.add(v2);         Vertex v3 = new Vertex("c");         Prim.vertexList.add(v3);         Vertex v4 = new Vertex("d");         Prim.vertexList.add(v4);         Vertex v5 = new Vertex("e");         Prim.vertexList.add(v5);         addEdge(v1, v2, 6);         addEdge(v1, v3, 7);         addEdge(v2, v3, 8);         addEdge(v2, v5, 4);         addEdge(v2, v4, 5);         addEdge(v3, v4, 3);         addEdge(v3, v5, 9);         addEdge(v5, v4, 7);         addEdge(v5, v1, 2);         addEdge(v4, v2, 2);     }     public static void addEdge(Vertex a, Vertex b, int w) {         Edge e = new Edge(a, b, w);         Prim.EdgeQueue.add(e);     }     public static void primTree() {         buildGraph();         Vertex start = vertexList.get(0);         newVertex.add(start);         for (int n = 0; n < vertexList.size() - 1; n++) {             Vertex temp = new Vertex(start.key);             Edge tempedge = new Edge(start, start, 1000);             for (Vertex v : newVertex) {                 for (Edge e : EdgeQueue) {                     if (e.start == v && !containVertex(e.end)) {                         if (e.key < tempedge.key) {                             temp = e.end;                             tempedge = e;                         }                     }                 }             }             newVertex.add(temp);         }         Iterator it = newVertex.iterator();         while (it.hasNext()) {             Vertex v = (Vertex) it.next();             System.out.println(v.key);         }     }     public static boolean containVertex(Vertex vte) {         for (Vertex v : newVertex) {             if (v.key.equals(vte.key))                 return true;         }         return false;     } }  class Vertex {     String key;     Vertex(String key) {         this.key = key;     } }  class Edge {     Vertex start;     Vertex end;     int key;     Edge(Vertex start, Vertex end, int key) {         this.start = start;         this.end  = end;         this.key = key;     } }

參考[编辑]

普林演算法與迪科斯彻演算法的策略相似。