柯西积分定理 (或稱柯西-古薩定理 ),是一个关于复平面 上全纯函数 的路径积分 的重要定理。柯西积分定理说明,如果从一点到另一点有两个不同的路径,而函数在两个路径之间处处是全纯的,则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是,单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长 闭合曲线的积分是0.
设 Ω {\displaystyle \Omega } 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一个单连通的开子集 。 f : Ω → C {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} } 是一个 Ω {\displaystyle \Omega } 上的全纯函数。设 γ {\displaystyle \gamma } 是 Ω {\displaystyle \Omega } 内的一个分段可求长 的简单闭曲线(即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线),那么:
∮ γ f ( z ) d z = 0. {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.} [1] :52 Ω {\displaystyle \Omega } 是单连通 表示 Ω {\displaystyle \Omega } 中没有“洞”,例如任何一个开圆盘 D = { z : | z − z 0 | < r } {\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|<r\}} 都符合条件,这个条件是很重要的,考虑中央有“洞”的圆盘: D h = { z : 0 < | z − z 0 | < 2 } {\displaystyle D_{h}=\{z:0<|z-z_{0}|<2\}} ,在其中取逆时针方向的单位圆 路径:
γ ( t ) = e i t t ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right)} 考虑函数 f : z ↦ 1 / z {\displaystyle f\;:\;z\;\mapsto \;1/z} ,它在 D h {\displaystyle D_{h}} 中是全纯函数,但它的路径积分:
∮ γ 1 z d z = ∫ 0 2 π i e i t e i t d t = ∫ 0 2 π i d t = 2 π i {\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i} 不等于零。这是因为函数 f {\displaystyle f} 在“洞”中有奇点 。如果考虑整个圆盘 D s = { z : | z − z 0 | < 2 } {\displaystyle D_{s}=\{z:|z-z_{0}|<2\}} ,就会发现 f {\displaystyle f} 在圆盘中央的点上没有定义,不是全纯函数。[2] :419
柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如: 设 Ω {\displaystyle \Omega } 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一个开子集 。 f : Ω → C {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} } 是一个定义在 Ω {\displaystyle \Omega } 上的函数。设 γ 1 : [ 0 , 1 ] → Ω {\displaystyle \gamma _{1}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega } 与 γ 2 : [ 0 , 1 ] → Ω {\displaystyle \gamma _{2}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega } 是 Ω {\displaystyle \Omega } 内的两条可求长 的简单曲线,它们的起点和终点都重合:
γ 1 ( 0 ) = γ 2 ( 0 ) , γ 1 ( 1 ) = γ 2 ( 1 ) , {\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\quad \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1),} 并且函数 f {\displaystyle f} 在 γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} 与 γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} 围成的闭合区域 D {\displaystyle D} 内是全纯函数,那么函数 f {\displaystyle f} 沿这两条曲线的路径积分相同:
∫ γ 1 f ( z ) d z = ∫ γ 2 f ( z ) d z . {\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\,dz.} 除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外,柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用。设 Ω {\displaystyle \Omega } 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一个开子集 。 f : Ω → C {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} } 是定义在 Ω {\displaystyle \Omega } 上的全纯函数。无论 Ω {\displaystyle \Omega } 内的曲线 γ {\displaystyle \gamma } 是自交还是卷绕数 多于1(围着某一点转了不止一圈),只要 γ {\displaystyle \gamma } 能够通过连续形变收缩为 Ω {\displaystyle \Omega } 内的一点,就有:
∮ γ f ( z ) d z = 0. {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.} [1] :59 以下的证明对函数有较为严格的要求,但对物理学中的应用来说已经足够。设 Ω {\displaystyle \Omega } 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一个开子集 。 f : Ω → C {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} } 是定义在 Ω {\displaystyle \Omega } 上的全纯函数, γ {\displaystyle \gamma } 是 Ω {\displaystyle \Omega } 内的可求长的简单闭合曲线。假设 f {\displaystyle f} 的一阶偏导数 也在 Ω {\displaystyle \Omega } 上连续,那么可以根据格林定理 作出证明。具体如下:
为了便于表达,将函数 f {\displaystyle f} 写为实部函数和虚部函数: f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) . {\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+i\,v(x,y).} 由于 d z = d x + i d y {\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy} ,积分
∮ γ f ( z ) d z = ∮ γ ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∮ γ ( u d x − v d y ) + i ∮ γ ( v d x + u d y ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)} 依据格林定理,右端的两个环路积分都可以变形为 γ {\displaystyle \gamma } 围成的区域 D γ {\displaystyle D_{\gamma }} 上的面积分。
∮ γ ( u d x − v d y ) = ∬ D γ ( − ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x d y , ∮ γ ( v d x + u d y ) = ∬ D γ ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y {\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\;,\qquad \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy} 另一方面,由于 f {\displaystyle f} 是全纯函数,所以它的实部函数和虚部函数满足柯西-黎曼方程 :
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}\;,\qquad {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}} 所以以上的两个积分中的被积函数都是0,
∬ D γ ( − ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) d x d y = ∬ D γ ( ∂ u ∂ y − ∂ u ∂ y ) d x d y = 0 {\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0} ∬ D γ ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y ) d x d y = ∬ D γ ( ∂ u ∂ x − ∂ u ∂ x ) d x d y = 0 {\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0} 因而积分也是0:
∮ γ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0} [2] :420-421 该定理的一个直接推论,是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理 的方法来计算:设 Ω {\displaystyle \Omega } 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一个开子集 。 f : Ω → C {\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} } 是一个 Ω {\displaystyle \Omega } 上的全纯函数。函数 f {\displaystyle f} 在 Ω {\displaystyle \Omega } 内的路径积分,只与积分的起点和终点有关,与中间经历的路径无关。假设,起点为a ,则可以定义一个函数 F : Ω → C {\displaystyle F\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
∀ b ∈ Ω , F ( b ) = ∫ γ a b f ( z ) d z = ∫ a b f ( z ) d z {\displaystyle \forall b\in \Omega ,\;\;F(b)=\int _{\gamma _{a}^{b}}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(z)\,dz} 其中的 γ a b {\displaystyle \gamma _{a}^{b}} 可以是任何以a 为起点,b 为终点的分段可求长简单曲线。函数 F {\displaystyle F} 被称为 f {\displaystyle f} 的(复)原函数或反导数函数。[2] :422
柯西积分定理与柯西积分公式是等价的。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式 和留数定理 。
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