数列极限

数列極限（英語：limit of a sequence）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

極限的定義 — 取一复数數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若有一複數 $z\in \mathbb {C}$ ，使得

「对于任意的正实数

\epsilon >0

，存在自然数

n\in \mathbb {N}

，使得任意的自然数

i\in \mathbb {N}

，只要

i>n

，則

|z_{i}-z|<\epsilon

」

用正式的邏輯語言来表示即

(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]

则称数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 收敛于 $z$ （convergent to $z$ ），並记作

\lim _{i\to \infty }z_{i}=z

如果不存在這樣的複數 $z\in \mathbb {C}$ ，則稱 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是發散的（divergent）。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 $\{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 來說，若

\lim _{i\to \infty }z_{i}=z

則其極限 $z$ 一定為实数，因為假設 $z$ 的虛部 $\operatorname {Im} (z)\neq 0$ 的話，則對極限定義取 $\epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0$ 的話，會存在 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的 $i\in \mathbb {N}$ ，只要 $i>n$ 有

|z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|

這是矛盾的，所以根據反證法， $\operatorname {Im} (z)=0$ ，即 $z\in \mathbb {R}$ 。

基本性質

唯一性

定理 — 若數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的極限存在，則極限是唯一的。^[1]^:29

證明

設數列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 有兩個不相等的極限值 $z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C}$ ，則根據假設，對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ ，使任意 $i\in \mathbb {N}$ ，只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有

|z_{i}-z_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}

|z_{i}-z_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}

這樣根據三角不等式，對任意的 $\epsilon >0$ ，只要自然數 $i>n$ 就有則

|z_{1}-z_{2}|=|(z_{1}-z_{i})-(z_{2}-z_{i})|\leq |z_{1}-z_{i}|+|z_{2}-z_{i}|<\epsilon

這樣的話，假設 $|z_{1}-z_{2}|>0$ 會得到

|z_{1}-z_{2}|<|z_{1}-z_{2}|

這樣是矛盾的，故根據反證法， $|z_{1}-z_{2}|=0$ ，也就是 $z_{1}=z_{2}$ ，故極限唯一。 $\Box$

有界性

定理 — 若數列 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有極限，則存在正实数 $M>0$ ，使得對所有的自然数 $i\in \mathbb {N}$ 都有 $|x_{i}|\leq M$ 。^[1]^:29-30

（即 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有極限則必為有界數列）

證明

因為 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有極限，假設有实数 $L\in \mathbb {R}$ 滿足

\lim _{n\to \infty }x_{n}=L

這樣的話，對於 $\epsilon =1$ ，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$ ，只要 $i>n$ ，則

|x_{i}-L|<\epsilon =1

從而

|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|

這樣的話，令

M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)

就會有

|x_{i}|\leq M

故得証。 $\Box$

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」^[1]^:30

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

保序性

定理 — 有實數數列 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a

\lim _{n\to \infty }y_{n}=b

則「 $a>b$ 」等價於「存在 $n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $x_{i}>y_{i}$ 」。^[1]^:30

證明

左至右：

取 $\epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$ ，則由前提假設，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有

|x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}

|y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}

从而

y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}

故

y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}

這樣取 $n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ ，左至右就得證。 $\Box$

右至左：

由前提假設，對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}$ 就有

\epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a

\epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b

x_{i}>y_{i}

从而

0<x_{i}-y_{i}<a-b

故得證。 $\Box$

四則運算定理

設 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$ ，則

$\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b$ ；
$\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b$ ；
若 $b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$ ,則 $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$ .