在數學裡,海森堡群是以维尔纳·海森堡來命名的,為如下之三階上三角矩陣所組成的群:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc8297f368ef41fdbef2dc430bbd7bc5b8cd5ea)
元素a、b、c可以取成某種交換環,一般會取成實數環或整數環。
若a、b、c為實數,則可得到一個連續海森堡群 H3(R)。其為一個幂零李群。
若a、b、c為整數,則可得到一個離散海森堡群 H3(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群,有兩個生成元
![{\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ccf5eea63a864724d9e5ab0eb69e84ff2faea0)
并满足关系
。
其中,
![{\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50edb5505d12741670112ac0343a63a48d8a8cf5)
為 H3 中心之生成元。(x-1,y-1和z-1即分别将x,y和z主对角线上的1改为-1)
依貝斯定理所述,其有一個4目的多項式增長率。
若取a、b、c在Z/pZ內,則可得到一個模 p 海森堡群。其為p3目的群,其中有兩個生成元x和y,满足关系
。
更一般性地,海森堡群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如,令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森堡群H(V)是一個附有群定律
![{\displaystyle (v_{1},t_{1})\cdot (v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\frac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93e7783d9ad465a922e38a3df7209d6cb3ed7f1c)
的集合。
海森堡群是加法群V的中心擴張。因此,會有一個正合序列
![{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to H(V)\to V\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8af4b20ead82b2a2e851fd52e6fb91c92c3059)
每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(ej,fk) = δjk的達布基{ej,fk}1 ≤ j,k ≤ n。以此一基來敘述,每個向量都可以分解成
![{\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccaa6facf5780056fada79502ea465818977d1f5)
其中的qa和pa為正則坐標。
若{ej,fk}1 ≤ j,k ≤ n是V的一個達布基,然後令{E為R的一個基,則{ej,fk, E}1 ≤ j,k ≤ n會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量
![{\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc35f88fb28bf952a913194d43b0370e4cd71986)
可以等同於下列矩陣
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&t+{\frac {1}{2}}pq\\0&1&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa4c3f6406ce3f7945c8199a61ab640bd626120)
因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示。
- Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.