在量子力學 裏，一個粒子因為自旋 與軌道運動 而產生的作用，稱為自旋-軌道作用 （英語：Spin–orbit interaction 自旋-軌道效應 或自旋-軌道耦合 。最著名的例子是電子 能級 的位移。電子移動經過原子核 的電場 時，會產生電磁作用 ．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線 分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核 殼層模型 能級 的位移。
半導體 或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學 專門研究與應用這方面的問題。
在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子 內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學 、非相對論性量子力學 、一階微擾理論 。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式 開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學 來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。
雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame ) ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系 ，則根據狹義相對論 [ 1] B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
B = − v × E c 2 {\displaystyle \mathbf {B} =-\,{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\,\!} (1) 其中， v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} E {\displaystyle \mathbf {E} \,\!} c {\displaystyle c\,\!} 光速 。
以質子的位置為原點 ，則從質子 產生的電場是
E = Z e 4 π ϵ 0 r 2 r ^ = Z e 4 π ϵ 0 r 3 r {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\mathbf {r} \,\!} 其中， Z {\displaystyle Z\,\!} 原子序數 ）， e {\displaystyle e\,\!} 單位電荷量 ， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!} 真空電容率 ， r ^ {\displaystyle {\hat {r}}\,\!} r {\displaystyle r\,\!} r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
電子的動量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!} 其中， m {\displaystyle m\,\!}
所以，作用於電子的磁場是
B = Z e 4 π ϵ 0 m c 2 r 3 r × p = Z e 4 π ϵ 0 m c 2 r 3 L {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {L} \,\!} (2) 其中， L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 角動量 ， L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}
B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
電子自旋的磁矩 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
μ = γ S {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\gamma \,\mathbf {S} \,\!} 其中， γ = g s q e 2 m {\displaystyle \gamma ={\frac {g_{s}q_{e}}{2m}}\,\!} 旋磁比 (gyromagnetic ratio ) ， S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} g s {\displaystyle g_{s}\,\!} 朗德g因子 ， q e {\displaystyle q_{e}\,\!} 電荷量 。
電子的朗德g因子 （g-factor）是 2 {\displaystyle 2\,\!} − e {\displaystyle -e\,\!}
μ = − e m S {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e}{m}}\mathbf {S} \,\!} (3) 電子的磁矩與自旋反平行。
自旋-軌道作用的哈密頓量 微擾項目是
H ′ = − μ ⋅ B {\displaystyle H'=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 代入 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
H ′ = Z e 2 4 π ϵ 0 m 2 c 2 L ⋅ S r 3 {\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!} 一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession ) 。因為這效應，必須添加因子 1 / 2 {\displaystyle 1/2\,\!}
H ′ = Z e 2 8 π ϵ 0 m 2 c 2 L ⋅ S r 3 {\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!} 在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 H 0 {\displaystyle H_{0}\,\!} 本徵函數 形成的基底 ，使 H ′ {\displaystyle H'\,\!} 對角化 。為了找到這基底，先定義總角動量算符 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
J = L + S {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!} 總角動量算符與自己的內積是
J 2 = L 2 + S 2 + 2 L ⋅ S {\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!} 所以，
L ⋅ S = 1 2 ( J 2 − L 2 − S 2 ) {\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})\,\!} 請注意 H ′ {\displaystyle H'\,\!} L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 對易 ， H ′ {\displaystyle H'\,\!} S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} H 0 {\displaystyle H_{0}\,\!} L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 波函數 ，用來計算一階能量位移 E ( 1 ) {\displaystyle E^{(1)}\,\!} H 0 {\displaystyle H_{0}\,\!} S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} E ( 1 ) {\displaystyle E^{(1)}\,\!} H ′ {\displaystyle H'\,\!} J 2 {\displaystyle J^{2}\,\!} L 2 {\displaystyle L^{2}\,\!} S 2 {\displaystyle S^{2}\,\!} H 0 {\displaystyle H_{0}\,\!} J 2 {\displaystyle J^{2}\,\!} L 2 {\displaystyle L^{2}\,\!} S 2 {\displaystyle S^{2}\,\!} H 0 {\displaystyle H_{0}\,\!} J 2 {\displaystyle J^{2}\,\!} L 2 {\displaystyle L^{2}\,\!} S 2 {\displaystyle S^{2}\,\!} | n , j , l , s ⟩ {\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!} E n ( 1 ) {\displaystyle E_{n}^{(1)}\,\!} n {\displaystyle n\,\!} 主量子數 ， j {\displaystyle j\,\!} l {\displaystyle l\,\!} 角量子數 ， s {\displaystyle s\,\!} | n , j , l , s ⟩ {\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!} L ⋅ S {\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}
⟨ n , j , l , s | L ⋅ S | n , j , l , s ⟩ = 1 2 ( ⟨ J 2 ⟩ − ⟨ L 2 ⟩ − ⟨ S 2 ⟩ ) = ℏ 2 2 [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s ( s + 1 ) ] = ℏ 2 2 [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − 3 / 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!} ； 其中，電子的自旋 s = 1 / 2 {\displaystyle s=1/2\,\!}
經過一番繁瑣的運算[ 2] r − 3 {\displaystyle r^{-3}\,\!}
⟨ n , j , l , s | r − 3 | n , j , l , s ⟩ = 2 Z 3 a 0 3 n 3 l ( l + 1 ) ( 2 l + 1 ) {\displaystyle \langle n,j,l,s\,|\,r^{-3}\,|\,n,j,l,s\rangle ={\frac {2Z^{3}}{a_{0}^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}\,\!} 其中， a 0 = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m e 2 {\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}\,\!} 波耳半徑 。
將這兩個期望值的公式代入，能級位移是
E n ( 1 ) = Z 4 e 2 ℏ 2 8 π ϵ 0 m 2 c 2 a 0 3 [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − 3 / 4 ] n 3 l ( l + 1 ) ( 2 l + 1 ) {\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!} 經過一番運算，可以得到
E n ( 1 ) = ( E n ( 0 ) ) 2 m c 2 2 n [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − 3 / 4 ] l ( l + 1 ) ( 2 l + 1 ) {\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!} 其中， E n ( 0 ) = Z 2 ℏ 2 2 m a 0 2 n 2 {\displaystyle E_{n}^{(0)}={\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}}\,\!} n {\displaystyle n\,\!}
特別注意，當 l = 0 {\displaystyle l=0\,\!} 除以零 的不可定義運算；雖然分子 項目 j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − 3 / 4 = 0 {\displaystyle j(j+1)-l(l+1)-3/4=0\,\!} 精細結構 能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 l = 0 {\displaystyle l=0\,\!} 球對稱 的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來， l = 0 {\displaystyle l=0\,\!} 球諧函數 是
Y 0 0 = 1 4 π {\displaystyle Y_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,\!} 由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 l = 0 {\displaystyle l=0\,\!}
^ French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968: pp. 237–250. ISBN 0748764224 ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb3bb4d70e0d9b154addbd14293b1f0a119116b)
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420ba21c90b55712ef158d20b72a244f5160f3f)
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8012622497b6f875b639d0a32437fecfc25c658)
