色散关系

在物理科学和電機工程學中，色散关系描述波在介质中传播的色散现象的性质。色散关系将波的波长或波數与其頻率建立了联系。由这组关系，波的相速度和群速度有了方便的确定介质中折射率的表达式。克拉莫-克若尼關係式可以描述波的传播、衰减的频率依赖性，這關係比與幾何相關和與材料相關的色散关系更具一般性。

色散的原因可能是几何边界条件（波导、浅水）或是波与传输介质间的相互作用。基本粒子（被认为是物質波）即使在没有集合约束和其他介质存在下也会有非平凡的色散关系。

在存在色散的情况下，波速不再唯一定义，从而产生了相速度和群速度的区别。

當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時，色散會發生，如此造成混合各種波長的波包漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率v為波長${\displaystyle \lambda }$的函數：

${\displaystyle v=v(\lambda )\,}$。

波速、波長、頻率f之間具有恆等式：

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda )\,}$。

函數f(λ)指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用角频率${\displaystyle \omega =2\pi f}$與波數${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$來表示。上述式子可改寫為

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\ k\,}$。

在此ω成為k的函數。使用ω(k)來描述色散關係已經成為一種標準寫法，因為相速度 ω/k 與群速度 ∂ω/∂k 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。

因此所關注的平面波可寫為如下數學式：

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}}$，

其中

A是波的振幅，

A₀ = A(0,0)，

x是波傳遞方向上的任一特定位置，以及

t是描述波的任一特定時間。

真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子：無幾何上的限制，無傳導介質的交互作用。

對真空中的电磁波而言，角頻率與波數呈正比：

${\displaystyle \omega =ck\,}$。

這是「線性」的色散關係。在此情形下，相速度與群速度乃是相同的：

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c}$；

兩者皆為c，真空中的光速，為與頻率無關的常數。

粒子的總能量、動量與質量透過如下相對論關係連結：

${\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}\,}$  ^[1]

其中${\displaystyle m}$是靜質量。

當靜質量m為零時，比如光子的例子：

${\displaystyle E=pc\,}$。

又靜質量不為零的粒子，當其接近光速時，pc項遠大於mc²項，因此關係式可趨近於E = pc。其在非相對論極限，也就是速度遠小於光速c的情形，可趨近於如下關係式：

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}}$

此情形下，${\displaystyle mc^{2}}$是常數，而${\displaystyle p^{2}/2m}$是常見的動能，可以動量${\displaystyle p=mv}$來寫出關係式。

從近光速的例子過渡到低速度極限，可看到E與p的關係是從p轉成p²，在垂直軸跟水平軸皆取對數log的色散關係圖中可看出斜率的改變。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物質波的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」，能量E與角頻率ω之間以及動量p與波數k之間皆為正比關係，比值為約化普朗克常數ħ：

${\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k}$。

相應地，角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限（低速度極限的牛頓力學）條件下，利用能量（動能）與動量的關係式：

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

此處省去常數mc²的效應。等式左右分別代入德布羅意關係，可得色散關係：

${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$。

動畫：電子的相速度與群速度
此動畫描繪了三顆（慢速度）自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4Å的區域。每單位質量的動量，稱為固有速度。中間電子的固有速度為光速c，其群速度則為0.707 c；上方電子則有中間電子的兩倍動量，下方電子則有中間電子的一半動量。注意到：當動量增加時，相速度下降到c，而群速度增加到c，而波包與相位峰值兩者以接近c的速度一同移動；在此同時，波長的下降則無下限值。實驗室中，這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度（波包大小）可比此處粒子大上好幾個數量級。

當討論到介質的折射性質而不是吸收性質，亦即關注焦點為折射率的實部，則常會提及「色散關係」—角頻率與波數的函數關係。在粒子的情形，改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。

「色散關係」一詞源自於光學。讓光穿過折射率不為常數的介質則有辦法使得光速與波長相依；另外的方法是使用非均勻介質中的光，比如波导。在此情形下，波形會隨著時間擴展開來，窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中，${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$為群速度^[2]，對應到脈衝包絡線峰值的傳遞速度，並與相速度${\displaystyle {\frac {\omega }{k}}}$不同。^[3]

深水波的色散關係常寫為

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}}$，

其中g是重力造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半^[4]。在此情形下，相速度為

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}}$，

而群速度為

${\displaystyle v_{g}={\frac {d{\omega }}{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

對一條理想弦而言，色散關係可寫為

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$，

其中T為弦的張力，μ為弦每單位長度的質量。

如同真空中的電磁波，理想弦為非色散介質，其相速度與群速度相等，並且與振動頻率無關。

至於非理想弦則需考量到硬度的影響，色散關係變為

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4}}$，

其中${\displaystyle \alpha }$是與弦有關的常數。

在固態物理領域，電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著：對一給定的動量存在有多種可能的能階，而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能带结构。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體、半导体，抑或是導體。

聲子之於聲波一如光子之於光波：其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。

關於穿透式電子顯微鏡中的高能電子（例如200 keV），收斂束電子繞射（Convergent beam electron diffraction, CBED） 型態在高階勞厄區（英语：Laue zone）（higher order Laue zone, HOLZ）譜線的能量相依性，允許研究者能對晶體三維色散表面的橫斷面做直接「成像」^[5]。這種動態效應（英语：Dynamical theory of diffraction）可用於晶格參數的準確測量、電子束能量，近期更應用在電子業上。

艾萨克·牛顿研究過稜鏡的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性；假使有認出，他則可能發明出消色差透鏡。^[6]

水波的色散關係是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯於1776年研究得到。^[7]

在幾篇舉足輕重的論文中，色散關係與各種波及粒子散射理論（英语：Scattering theory）中的因果律被連繫了起來，使得克拉莫-克若尼關係式（1926年－1927年間）的通則變得重要。^[8]

• 橢圓偏振技術
• 超短脉冲（英语：Ultrashort pulse）

• Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
• Angular frequency calculator