Гамма-распределение

Гамма распределение
Probability density plots of gamma distributionsПлотность вероятности
Cumulative distribution plots of gamma distributionsФункция распределения
Обозначение или [1]
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана Отсутствует явное выражение в замкнутой форме
Мода при
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов при
Характеристическая функция

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

[править | править код]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

где  — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с положительными параметрами и . Пишут .

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей гамма-распределение, имеют вид

,
.

Свойства гамма-распределения

[править | править код]
  • Если  — независимые случайные величины, такие что , то
.
  • Если , и  — произвольная константа, то
.

Связь с другими распределениями

[править | править код]
.
  • Если  — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то
.
.
при .
  • Если  — независимые случайные величины, такие что , то
.

Моделирование гамма-величин

[править | править код]

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то .

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

  1. Положить m равным 1.
  2. Сгенерировать и  — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
  3. Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
  4. Положить . Перейти к шагу 6.
  5. Положить .
  6. Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
  7. Принять за реализацию .


Подытожим:

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.
  • Жуковский М.Е., Родионов И.В. Основы теории вероятностей. — М.: МФТИ, 2015. — 82 с.
  • Жуковский М.Е., Родионов И.В., Шабанов Д.А. Введение в математическую статистику. — М.: МФТИ, 2017. — 109 с.
  • Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.