Непрерывное отображение

Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и тому подобных пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и так далее.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Определения

[править | править код]

Наиболее общее определение даётся в топологии.

Непрерывность в топологических пространствах

[править | править код]

Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

.

Непрерывность на подпространстве

[править | править код]

Если рассмотреть некоторое подмножество множества , то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология , которую составляют всевозможные пересечения множества с множествами, входящими в топологию .

Отображение , непрерывное на множестве , будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.

Непрерывность в точке

[править | править код]

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что .

Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества.[1]

В случае, если область определения функции удовлетворяет первой аксиоме счетности, в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна так называемой секвенциальной непрерывности: если , то . В общем же случае, секвенциально непрерывные прообразы секвенциально замкнутых множеств секвенциально замкнуты, что является аналогом эквивалентного определения непрерывных отображений как тех, при которых прообразы замкнутых множеств замкнуты.

Эквивалентные определения

[править | править код]

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

  • прообраз всякого открытого множества открыт;
  • прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
  • прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
  • образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
  • замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

[править | править код]

В метрических пространствах топология задаётся семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если для всякого существует , что для всякого , такого, что , выполняется неравенство: .

Для линейных нормированных пространств (включая гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задаётся нормой, поэтому то же определение даётся в терминах нормы.

Пусть, отображение между нормированными пространствами с нормами и соответственно. Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек , таких что выполнено неравенство ,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счётности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)

[править | править код]

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала (или ), где  — произвольное топологическое пространство, следующее:

Функционал называется непрерывным в точке , если для любого найдется окрестность этой точки, такая, что выполнено условие .

Множество непрерывных на функционалов (функций) принято обозначать . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция

[править | править код]

Пусть, (или ). Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек условие влечёт .

Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Свойства непрерывных отображений

[править | править код]
  • Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество
  • Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.
  • Композиция непрерывных отображений также является непрерывным отображением.
  • Сумма, разность и произведение непрерывных вещественнозначных функций непрерывны.
  • Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
  • Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве . Пусть — подмножество , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае тогда и только тогда, когда , существует , такая что .

Связанные определения

[править | править код]

Математические Этюды Архивная копия от 18 октября 2011 на Wayback Machine Мультик про непрерывность

Примечания

[править | править код]
  1. В математическом анализе понятие непрерывности сначала формулируется локально, в некоторой точке, а непрерывность на множестве определяется как непрерывность в каждой точке данного множества.

Литература

[править | править код]
  • Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.