Пятиугольный паркет

Пятиугольный паркет — в геометрии: замощение, составленное из выпуклых пятиугольников. Замощение из правильных пятиугольников в евклидовом пространстве невозможно, поскольку общий угол правильного пятиугольника равен 108° и не делит ни 180°, ни 360°. Однако ими можно замостить^[англ.] гиперболическую плоскость и сферу.

Для плоскости же задача о полном описании всех возможных замощений неправильными пятиугольниками (описания всех видов пятиугольников, для которых возможно такое замощение) является очень сложной и исследования по ней ведутся больше века.

Предполагается, что существует всего 15 классов пятиугольников, бесконечные паркеты из которых могут замостить плоскость. Поиск всех таких классов продолжался до 2015 года, а 1 мая 2017 года Микаэль Рао предъявил доказательство того, что других таких пятиугольников не существует^[1][2]. По состоянию на декабрь 2017 года компьютерная программа, используемая и специально написанная для доказательства теоремы, независимо воспроизведена и проверена Томасом Хейлзом^[вд], профессором математики Питсбургского университета^[3][4], а остальная часть статьи всё ещё находится на рецензировании.

Более простой задачей является отыскание всех паркетов, составляющих замощение «ребро к ребру», то есть когда ни одна сторона ни одной плитки не совпадает сразу с двумя сторонами двух других (или, другими словами, когда никакая из вершин многоугольников замощения не лежит посреди некоторой стороны другого многоугольника).

Всего существует восемь видов пятиугольных паркетных выпуклых плиток «ребро к ребру». Тот факт, что других таких видов паркетных плиток, кроме уже найденных, не существует, был доказан Ольгой Багиной на Омском алгебраическом семинаре в 2011 году^[5]. Доказательство было опубликовано в 2017 году^[6].

Независимо от Багиной доказательство получил также Сугимото (Sugimoto) в 2012 году^[7].

Ни один из пятнадцати известных классов доступных для замощения пятиугольников не накрывается полностью объединением других. Тем не менее, некоторые пары классов могут пересекаться. Кроме того, в некоторых классах есть многоугольники, для которых кроме стандартной схемы замощения плоскости плитками этого класса существуют ещё и альтернативные способы замощения.

В приведенной классификации плиток углы пятиугольника обозначены через A,B,C,D,E, а длины его сторон через a, b, c, d, e, где |EA|=a, |AB|=b, |BC|=c, |CD|=d, |DE|=e. Многие из этих классов имеют степени свободы, выражающиеся уравнениями для углов и сторон. В частности, классы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 допускают параметры, при которых пятиугольники становятся невыпуклыми.

15 одноплиточных пятиугольных паркетов

1	2	3	4	5
B+C=180° A+D+E=360°	c=e B+D=180°	a = b, d = c + e A = C = D = 120°	b = c, d = e B = D = 90°	a = b, d = e A = 60°, D = 120°
6	7	8	9	10
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°	b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°	a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
11	12	13	14	15
2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360°	2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°, D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68° (2B + C = 360°, C + E = 180°).	a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

Периодические замощения могут быть характеризованы своей группой симметрии^[англ.], например, p2 (2222) для замощений, содержащих 4 точки вращения (с учётом параллельного переноса) порядка 2 (изображение переходит в себя при повороте на 360/2=180°). Это используется далее в иллюстрациях, где одинаковыми цветами показаны, плитки мозаики, переходящие друг в друга при соответствующем повороте.

Примитивной ячейкой будем называть наименьшую из плиток, которая при копировании и переносе образует всю данную мозаику.

Первые пять типов замощений описал в 1918 году Карл Рейнхардт^[англ.].^[8] Все эти пять замощений были изоэдральными, то есть каждую из плиток можно было перевести в каждую другую обычным поворотом и переносом, без применения зеркального отражения.

Грюнбаум и Шефард показали, что существует ровно 24 типа различных изоэдральных замощений.^[9] Все эти 24 типа принадлежали к классам, описанным Рейнхардтом, но иногда требовали добавочных условий. Существует по два изоэдральных замощения для каждого набора из типа 2, и по одному для каждого из четырёх остальных. 15 из 18 остальных типов представляют собой специальные случаи замощения типа 1. 9 из 24 типов относятся к паркетам «ребро к ребру».^[10]

Группы симметрий рядом с картинками ниже приведены в орбифолдной нотации^[англ.].

Для плиток первого типа существует множество способов замощения плоскости ими. Ниже приведены пять топологически разных примеров замощения:

Замощение плитками типа 1

p2 (2222)	cmm (2*22)	cm (*×)	pmg (22*)	pgg (22×)	p2 (2222)	cmm (2*22)
		p1 (°)	p2 (2222)	p2 (2222)
Примитивная ячейка из 2 плиток			Примитивная ячейка из 4 плиток
B + C = 180° A + D + E = 360°		a = c, d = e A + B = 180°, A + D + E = 360°	a = c A + B = 180°, C + D + E = 360°	a = e B + C = 180°, A + D + E = 360°	d = c + e A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + E = 270°

Тип 2
pgg (22×)
p2 (2222)
Примитивная ячейка из 4 плиток
c = e B + D = 180°	c = e, d = b B + D = 180°

Тип 3		Type 4		Type 5
p3 (333)	p31m (3*3)	p4 (442)	p4g (4*2)	p6 (632)
Примитивная ячейка из 3 плиток		Примитивная ячейка из 4 плиток		Примитивная ячейка из 6 плиток		Примитивная ячейка из 18 плиток
a = b, d = c + e A = C = D = 120°		b = c, d = e B = D = 90°		a = b, d = e A = 60°, D = 120°		a = b = c, d = e A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, E = 150°

Ричард Кершнер в 1968 году описал ещё три типа плиток. Он утверждал, что, кроме найденных теперь восьми типов, других не существует, но оказался не прав.

В типах 7 и 8 впервые появляются хиральные плитки (то есть для полного описания орбит симметрии впервые приходится использовать не только вращения, но и отражения). На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).

Все представленные ниже примеры 2-изоэдральны.

Type 6	Type 6 (Also type 5)	Type 7	Type 8
p2 (2222)		pgg (22×)	pgg (22×)
		p2 (2222)	p2 (2222)
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	a = d = e, b = c B = 60°, A = C = D = E = 120°	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°
Примитивная ячейка из 4 плиток	Примитивная ячейка из 4 плиток	Примитивная ячейка из 8 плиток	Примитивная ячейка из 8 плиток

Изучив результаты Кершнера в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» журнала Scientific American, Ричард Джеймс нашёл ещё один тип пятиугольников, который сейчас именуется типом 10.

Представленные здесь примеры 3-изоэдральны.

Type 10
p2 (2222)	cmm (2*22)
a=b=c+e A=90, B+E=180°, B+2C=360°	a=b=2c=2e A=B=E=90°, C=D=135°
Примитивная ячейка из 6 плиток

Математик-любитель Марджори Райс в 1976 и 1977 году нашла ещё четыре типа плиток, подходящих для замощения.

Все четыре типа паркетов 2-изоэдральны. На картинке ниже пары хиральных плиток обозначены парами цветов (жёлтый, зелёный) и (синий, бледно-синий).

Из всех четырёх типов только тип 9 даёт замощение типа «ребро к ребру».

Примитивные ячейки везде содержат по 8 плиток.

Type 9	Type 11	Type 12	Type 13
pgg (22×)
p2 (2222)
b=c=d=e 2A+C=D+2E=360°	2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180°	d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360°
Примитивная ячейка из 8 плиток	Примитивная ячейка из 8 плиток	Примитивная ячейка из 8 плиток	Примитивная ячейка из 8 плиток

Четырнадцатую мозаику нашёл Рольф Стейн в 1985 году. Найденное им замощение 3-изоэдрально и не относится к типу «ребро к ребру».

Более того, его замощение состоит из строго фиксированных плиток — никакой вариабельности через уравнения на углы, как в предыдущих типах, никаких степеней свободы здесь нет. Вот некоторые параметры этой фиксированной плитки:

${\displaystyle b=a{\sqrt {\frac {11{\sqrt {57}}-25}{8}}}}$

${\displaystyle \sin(B)={\frac {{\sqrt {57}}-3}{8}}}$

${\displaystyle \cos(B)=-{\sqrt {\frac {3{\sqrt {57}}-1}{32}}}}$

${\displaystyle \tan(B)=-{\frac {1}{4}}{\sqrt {3{\sqrt {57}}-15}}}$

Из этих значений можно легко вывести остальные.

Примитивная ячейка такого замощения содержит шесть плиток.

Type 14
pgg (22×)
	2a=2c=d=e A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°, D≈124.66°, E≈110.68° (2B+C=360°, C+E=180°).	Примитивная ячейка из 6 плиток

Исследователи из Вашингтонского университета в Ботелле, математики Кейси Манн, Джениффер Маклауд и Дэвид фон Дюрей в 2015 году, используя компьютерные вычисления, нашли пятнадцатый тип паркета. Их работа была опубликована в октябре 2015 года.^[11]

Эта мозаика не относится к типу «ребро к ребру». Она 3-изоэдральна (это обеспечивается двумя симметриями — поворотом на 180° относительно центра стыка светло-жёлтых плиток одной элементарной ячейки и зеркальным отражением относительно центра стыка светло-жёлтых плиток из двух разных элементарных ячеек). В мозаике есть хиральные плитки — на рисунке они обозначены парами цветов (жёлтый, светло-жёлтый), (синий, голубой), (красный, розовый). Примитивная ячейка содержит 12 плиток.

Так же, как паркет типа 14, этот паркет может быть построен из одной единственной плитки, никаких степеней свободы для изменения углов и длин сторон нет.

Type 15
(Larger image)	a=c=e, b=2a, d=√2 + √3a A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90°	Примитивная ячейка из 12 плиток

Непериодические паркеты из пятиугольных плиток также существуют. Они имеют радиальную симметрию, то есть совпадают с собой после поворота на некоторый угол относительно центра.

Ниже мы будем говорить о замощении с радиальной симметрией порядка ${\displaystyle k}$ если оно совпадает с собой после поворота на ${\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}}$ относительно центральной точки.

В 2016 году Бернард Клаасен показал, что для любого ${\displaystyle k\geq 2}$ существует непериодическое пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка ${\displaystyle k}$^[12][13]. Его метод построения заключался в том, чтобы заполнять плоскость парами пятиугольников, состыкованных по одной стороне таким образом, что он образуют шестиугольник. Если один из углов пятиугольника равен ${\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}}$ и длины сторон подобраны правильным образом, то, начиная от тривиально состыкованных вокруг одной точки таких пятиугольников, можно предсказуемо заполнять окружающие их слои один за другим.

Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 5

Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 6

Пятиугольное замощение с радиальной симметрией порядка 7

Пример замощения Клаасена для ${\displaystyle k=7}$

Существует три типа паркетов, двойственных однородным. Все эти паркеты относятся к типу «ребро к ребру». Симметрии в двойственных паркетах совпадают с симметриями в соответствующих однородных. Поскольку однородные паркеты изогональны, до двойственные им — изоэдральны.

cmm (2*22)	p4g (4*2)	p6 (632)
Призматический пятиугольный паркет Экземпляр типа 1[8]	Каирская пятиугольная мозаика Экземпляр типа 4[8][14]	Цветочная пятиугольная мозаика Экземпляр типов 1, 2 и 5
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4	120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4	120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6

Другие k-однородные паркеты, все вершины которых имеют по пять исходящих рёбер, также имеют двойственные пятиугольные паркеты, но состоящие из нескольких разных плиток. Однако никаких других плиток кроме трёх, фигурирующих в обычных паркетах, двойственных однородным, в них не появляется.

Паркеты, двойственные k-однородному, являются k-изоэдральными.

Ниже для примера приведены пятиугольные паркеты, двойственные 2,3,4 и 5-однородным, а также отдельно (ниже каждого) — плитки, составляющие их.

2-изоэдральные		3-изоэдральные
p4g (4*2)	pgg (22×)		p2 (2222)	p6 (*632)
4-изоэдральные			5-изоэдральные
pgg (22×)		p2 (2222)		p6m (*632)
5-изоэдральные
pgg (22×)			p2 (2222)

Пятиугольники находятся в интересных соотношениях с шестиугольниками. Некоторые виды шестиугольников могут быть разбиты на пятиугольники — в частности, отдельный шестиугольник может быть разбит на:

• 2 плитки типа 1
• 3 плитки типа 3
• 4 плитки типа 4
• 9 плиток типа 3

Вследствие такого разнообразия возможностей, плоскость может быть разбита на пятиугольники бесконечным числом способов, генерируемых из подразбиения шестиугольников регулярной мозаики.

Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 1) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 2 пятиугольника)

Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 3) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 3 пятиугольника)

Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 4) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников (каждый из которых разбивается на 4 пятиугольника)

Замощение плоскости одной пятиугольной плиткой (типа 3) через формирование регулярной мозаики из шестиугольников двух разных размеров (каждый из которых разбивается либо на 3, либо на 9 плиток)

Замощения плоскости невыпуклыми многоугольниками также существуют. Один из таких примеров — мозаика «Сфинкс», непериодическое замощение через наращивание размера делящейся плитки. Для фигуры «Сфинкс» существует также и периодическое замощение через сборку их пар в параллелограммы и тривиальное замощение плоскости такими параллелограммами.

В 2003 году Гервер показал, как правильный треугольник можно разбить на три невыпуклых многоугольника. Пользуясь той же схемой, можно бесконечным числом способов разбить любой правильный ${\displaystyle k}$-угольник на ${\displaystyle k}$ невыпуклых пятиугольников. В частности, этот способ подходит для 3, 4 и 6-угольников, через подразбиение регулярных мозаик которых можно таким образом генерировать ещё один бесконечный класс разбиений плоскости на невыпуклые многоугольники.

• Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. Isohedral tilings of the plane by polygons // Commentarii Mathematici Helvetici. — 1978. — Т. 53. — С. =542—571. — ISSN 0010-2571. — doi:10.5169/seals-40786. (недоступная ссылка)
• Schattschneider, Doris (1978), "Tiling the plane with congruent pentagons", Mathematics Magazine, 51 (1): 29—44, doi:10.2307/2689644, ISSN 0025-570X, MR 0493766 {{citation}}: Неизвестный параметр |jstуууууor= игнорируется (справка)
• Gerver, M. L. (2003), "Theorems on tessellations by polygons", Sbornik: Mathematics, 194 (6): 879—895, Bibcode:2003SbMat.194..879G, doi:10.1070/sm2003v194n06abeh000743
• Pentagon Tilings
• Математики нашли новый тип пятиугольного паркета
• Математический паркет