Biegewelle

Biegewellen sind transversale Wellen, die sich in begrenzten Medien mit nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise in Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) und in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz zu Dehnwellen findet die periodische Auslenkung des Mediums senkrecht („transversal“) zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als periodische Änderung des Krümmungsradius beschrieben wird.

Wellengleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Balken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster Ordnung nach der Euler-Bernoulli-Theorie:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}\cdot {\frac {\partial ^{4}z}{\partial x^{4}}}=0}$

mit

• ${\displaystyle z({\vec {x}},t)}$ die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
• ${\displaystyle t}$ die Zeit
• ${\displaystyle E}$ der Elastizitätsmodul
• ${\displaystyle I}$ das Flächenträgheitsmoment
  • ${\displaystyle E\cdot I}$ die Biegesteifigkeit
• ${\displaystyle \rho }$ die Dichte des Balkens
• ${\displaystyle A}$ die Balkenquerschnittsfläche.

Für eine Dimension (Ortsvariable ${\displaystyle x}$) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz

${\displaystyle z=z_{0}\cdot e^{i(\omega t+kx)}}$

mit

• der Amplitude ${\displaystyle z_{0}}$
• der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$
• der imaginären Einheit ${\displaystyle i}$
• der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi \cdot f}$
• der Kreiswellenzahl ${\displaystyle k}$

die Dispersionsrelation:

${\displaystyle k^{2}={\sqrt {\frac {\rho \cdot A}{E\cdot I}}}\cdot \omega .}$

Die Phasengeschwindigkeit ${\displaystyle c={\frac {\omega }{k}}}$ ist damit stark von der Frequenz ${\displaystyle f}$ (und damit auch von ${\displaystyle \omega }$) abhängig:

${\displaystyle c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}}}$.

Platte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\,h^{2}}{12\rho (1-\mu ^{2})}}\,\nabla ^{4}z=0}$

mit den zusätzlichen Bezeichnungen

• ${\displaystyle h}$ die Höhe der Platte
• ${\displaystyle \mu }$ die Querkontraktionszahl
• ${\displaystyle \nabla }$ der Nabla-Operator.

Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation

${\displaystyle k^{2}={\frac {\sqrt {12}}{h}}\cdot {\sqrt {\frac {\rho \cdot (1-\mu ^{2})}{E}}}\cdot \omega }$

und die Phasengeschwindigkeit:

${\displaystyle c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {h^{2}\cdot E}{12\cdot \rho \cdot (1-\mu ^{2})}}}.}$

Gruppengeschwindigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle c_{g}={\frac {d\omega }{dk}}}$ gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:

${\displaystyle c_{g}=2\cdot c}$.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Michael Möser: Technische Akustik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 (google-books)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Biegewellenwandler
• Koinzidenzfrequenz