Buch der Lemmata

Das Buch der Lemmata (auch Buch der Hilfssätze) ist eine Sammlung von 15 Aussagen über die Geometrie von Kreisen. Sie wird dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes zugeschrieben; seine Urheberschaft ist allerdings fraglich.

Der syrische Mathematiker Thabit ibn Qurra hat das Manuskript im 9. Jahrhundert aus dem Griechischen ins Arabische (Titel: K. al-Ma'hūdāt fī usūl al-handasa) übersetzt und es Archimedes zugeschrieben; aus dem 10. Jahrhundert ist ein Kommentar von Alī ibn Ahmad al-Nasawī überliefert.^[1] Im Jahre 1661 wurde der Text von Abraham Ecchellensis ins Lateinische übertragen und von Giovanni A. Borelli als Archimedis Liber Assumptorum in seinem Werk Apollonii Pergaei Conicorum lib. V, VI, VII herausgegeben.^[2] Der englische Mathematikhistoriker Thomas L. Heath wiederum erstellte eine englische Fassung des Liber Assumptorum und nahm diese 1897 unter dem Titel Book of Lemmas in seinen Sammelband The Works of Archimedes auf.^[3] Dieser Band wurde – ergänzt u. a. um einen Beitrag des dänischen Mathematikhistorikers Johan Ludvig Heiberg über die Methoden Archimedes' – 1914 von Fritz Kliem ins Deutsche übersetzt (Archimedes' Werke);^[4] das Kapitel Book of Lemmas heißt hier Buch der Hilfssätze.^[5]

Siebzehn Aussagen, einzeln mit „Propositio“ bezeichnet, enthält das Liber Assumptorum (obwohl in der Einleitung „sechzehn Sätze“ angekündigt sind)^[6][7]. Davon sind fünfzehn im Book of Lemmas mit der Benennung „Proposition“ und in der deutschen Übersetzung Kliems im Buch der Hilfssätze mit der Bezeichnung „Satz“ enthalten.^[5] Auf Griechisch ist das Werk nicht überliefert.^[1]

Die Autorschaft Archimedes’ ist nicht gesichert. Zweifel erregen insbesondere Passagen des Textes, in denen auf Archimedes in der dritten Person Bezug genommen wird. In Satz 4 ist beispielsweise die Rede von einer Figur (gemeint ist der Arbelos), die „ein von Archimedes sogenannter Άρβυλος“^[8] genannt wird („quam vocat Archimedes ARBELON“^[9] bzw. „what Archimedes called an Άρβυλος“)^[10].

Zur Frage der Autorschaft Archimedes’ führt Heath aus (rechts daneben die Übersetzung Kliems):

Zusammengefasst bedeutet dies, dass zumindest der Arbelos (das oben erwähnte „Schuster-Messer“), das Salinon (das „Salzfaß“) und die in Proposition 8 dargelegte Methode der Dreiteilung des Winkels mit hoher Wahrscheinlichkeit Archimedes zugeschrieben werden können.

Die 15 Abschnitte des Textes enthalten Aussagen über Kreise, zu ihren Durchmessern und Radien, zu Sekanten und Tangenten und zu den Verhältnissen dieser Elemente untereinander, sowie die zugehörigen Beweise. Sie sind in der lateinischen Fassung alle, in der englischen und deutschen Fassung mit Ausnahme von Satz 7 illustriert.

Die Aussagen beziehen sich unter anderem auf folgende Themen der Geometrie und Stereometrie:

Gegeben seien ein Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und ein Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle C}$, die sich im Punkt ${\displaystyle A}$ berühren. Der Durchmesser ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ von ${\displaystyle k_{1}}$ und der Durchmesser ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ von ${\displaystyle k_{2}}$ seien parallel zueinander.

Dann liegen die Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle F}$ auf einer gemeinsamen Geraden.^[13]

Der Beweis verwendet Seitenverhältnisse bei ähnlichen Dreiecken (siehe abgebildete Planfigur).

Die Strecke ${\displaystyle [DH]}$ sei parallel zu der Strecke ${\displaystyle [CM]}$. Somit ist das Viereck ${\displaystyle MHDC}$ ein Parallelogramm.

Da außerdem ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {FM}}}$ Radius von ${\displaystyle k_{1}}$ und ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ Radius von ${\displaystyle k_{2}}$ ist, gilt ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {FM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {MH}}={\overline {CD}}={\overline {AC}}}$.

Nach dem Strahlensatz gilt: ${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {FM}}}={\frac {\overline {DH}}{\overline {FH}}}}$. Also sind ${\displaystyle ACD}$ und ${\displaystyle DHF}$ ähnliche gleichschenklige Dreiecke.

Es seien ${\displaystyle \alpha }$, bzw. ${\displaystyle \beta }$, bzw. ${\displaystyle \gamma }$ die Winkelweiten von ${\displaystyle \angle ADC}$, bzw. ${\displaystyle \angle DFH}$, bzw. ${\displaystyle \angle CDF}$. Dann gilt: ${\displaystyle \alpha =\beta }$.

Durch Addition von ${\displaystyle \gamma }$ auf beiden Seiten dieser Gleichung erhält man: ${\displaystyle \beta +\gamma =\alpha +\gamma }$ = 180°.

Damit ist bewiesen, dass die Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle F}$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen.^[14]

Gegeben sei ein Punkt ${\displaystyle D}$ auf einem Halbkreis mit dem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, dessen Tangenten in den Punkten ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle D}$ sich im Punkt ${\displaystyle T}$ schneiden. ${\displaystyle E}$ sei der Fußpunkt des Lotes von ${\displaystyle D}$ auf ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle F}$ der Schnittpunkt dieses Lotes mit der Strecke ${\displaystyle AT}$.

Dann ist ${\displaystyle F}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle DE}$.^[15]

Der Schnittpunkt der Verlängerungen von ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle BT}$ über ${\displaystyle D}$, bzw. ${\displaystyle T}$ hinaus sei ${\displaystyle H}$. Nach dem Satz des Thales sind die Winkel ${\displaystyle \angle ADB}$ und damit auch ${\displaystyle \angle BDH}$ jeweils rechte Winkel. Da somit ${\displaystyle D}$ auf dem Thaleskreis über ${\displaystyle BH}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle T}$ liegt, gilt ${\displaystyle {\overline {BT}}={\overline {TD}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BT}}={\overline {TH}}}$. Da wegen der Parallelität von ${\displaystyle DE}$ und ${\displaystyle BH}$ die Dreiecke ${\displaystyle AED}$ und ${\displaystyle ABH}$ ähnlich zueinander sind und ${\displaystyle T}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle BH}$ ist, gilt auch, dass ${\displaystyle F}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle DE}$ ist.^[16]

Im Besonderen werden die beiden komplexeren, jeweils aus mehreren Halbkreisen bestehenden geometrischen Figuren Arbelos und Salinon eingeführt: Der Arbelos selbst in Satz 4,^[17] die Zwillingskreise des Archimedes in Satz 5,^[18] der Inkreis des Arbelos (der wiederum in Beziehung zur Pappos-Kette steht, wie Kliem in einer Fußnote anmerkt)^[19] in Satz 6.^[20]

• 
  Arbelos
• 
  Zwillingskreise
• 
  Pappos-Kette
• 
  Salinon

Wird ein Kreis einem Quadrat umschrieben und ein anderer einbeschrieben, so ist der umschriebene Kreis das Doppelte des einbeschriebenen.^[21][22]

Das Verhältnis des Umkreises (umschreibender Kreis) zum Inkreis (einbeschreibender Kreis) ist gleich dem Quadrat über der Diagonale ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ zu dem Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\overline {CD}}}$, d. h. deren Flächen verhalten sich wie ${\displaystyle 2:1.}$^[21]

Beispiel

Sei ein Quadrat mit der Seitenlänge gleich ${\displaystyle 2}$, dann hat der Umkreis ${\displaystyle k_{u}}$ mit Radius gleich ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ den Flächeninhalt (Flächeneinheit ${\displaystyle =[FE]}$)

${\displaystyle A_{k_{u}}={\sqrt {2}}^{2}\cdot \pi =2\pi \;[FE]}$

und der Inkreis ${\displaystyle k_{i}}$ mit Radius gleich ${\displaystyle 1}$ den Flächeninhalt

${\displaystyle A_{k_{i}}=1^{2}\cdot \pi =\pi \;[FE].}$

Das Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\overline {CD}}=2}$ hat den Flächeninhalt

${\displaystyle A_{Q_{CD}}=2^{2}=4\;[FE]}$

Das Quadrat über seiner Diagonale ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {8}}}$ hat den Flächeninhalt

${\displaystyle A_{Q_{AB}}={\sqrt {8}}^{2}=8\;[FE],}$

daraus folgt

${\displaystyle A_{k_{u}}:A_{k_{i}}=A_{Q_{AB}}:A_{Q_{CD}}=2:1.}$

Ist AB eine Sehne eines Kreises, dessen Mittelpunkt O ist, und wird AB bis C so verlängert, daß BC gleich dem Radius ist, trifft ferner CO den Kreis in D und verlängert zum zweitenmal in E, so ist der Bogen AE das Dreifache des Bogens BD.^[23]

Zur Verdeutlichung wird noch die Parallele ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ zur Sehne ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gezogen und der Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle B}$ verbunden. Wegen des sogenannten Z-Winkels sind die Winkel an den Scheiteln ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle E}$ gleich.

Da im gleichschenkligen Dreieck ${\displaystyle EFO}$ die Basiswinkel an den Scheiteln ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ gleich sind, hat der Winkel am Scheitel ${\displaystyle O}$ des Dreiecks ${\displaystyle FDO}$ – nach dem Kreiswinkelsatzes – die doppelte Winkelweite eines Basiswinkels.

Winkel am Scheitel ${\displaystyle O}$ des Dreiecks ${\displaystyle FDO}$ anhand der Winkelsumme ${\displaystyle 180^{\circ }:}$

${\displaystyle \angle {FOD}=180^{\circ }-[(90^{\circ }-\beta )+(90^{\circ }-\beta )]=2\beta ,}$

daraus und wegen ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ parallel zu ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ folgt

${\displaystyle \angle {FOB}}$ und ${\displaystyle \angle {AOE}=3\beta .}$

Für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels bedarf es einer Neusis-Konstruktion. Archimedes ließ die Vorgehensweise der sogenannten Einschiebung (Neusis) offen.^[24][25]

Um die Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals (Radius ${\displaystyle r}$, grün) in der Beweisskizze nach Archimedes zu verdeutlichen, wird der Winkelschenkel ${\displaystyle {\overline {FO}}}$ über die Kreislinie hinaus verlängert. Der Schnittpunkt mit der Kreislinie ist ${\displaystyle G}$. Mit der Annahme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ wäre nicht vorhanden – somit nur ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ – legt man das Lineal auf die Zeichnung. Es folgt das Vorpositionieren des Lineals mit der Kante auf den Punkt ${\displaystyle B}$ und der Ecke auf die Verlängerung des Winkelschenkels ${\displaystyle {\overline {FO}}}$. Abschließend wird die Ecke bzw. Kante des Lineals soweit an der Verlängerung und am Punkt ${\displaystyle B}$ entlang geführt, bis die Markierung (grün) die Kreislinie in ${\displaystyle A}$ schneidet und die Länge der Strecke ${\displaystyle |{\overline {AH}}|}$ gleich ${\displaystyle r}$ ist.

Somit ist der Kreisbogen ${\displaystyle OAG}$ ein Drittel des Kreisbogens ${\displaystyle OFB}$ und der Winkel ${\displaystyle \beta }$ bei ${\displaystyle H}$ der gesuchte Drittelwinkel.

Einen vollständigen Überblick über die zentralen Themen der 15 Hilfssätze gibt die folgende Auflistung:

• Satz 1: Berührende Kreise und parallele Durchmesser
• Satz 2: Halbkreis, Durchmesser, Tangente, Sekante
• Satz 3: Halbkreis, Senkrechte zum Durchmesser, Sehnen
• Satz 4: Halbkreise, Senkrechte zum Durchmesser, Arbelos
• Satz 5: Arbelos, Zwillingskreise des Archimedes, Halbkreise, Kreise
• Satz 6: Arbelos, Halbkreise, Kreis
• Satz 7: Quadrat, umschreibender und einbeschreibender Kreis
• Satz 8: Dreiteilung des Winkels, Neusis-Konstruktion
• Satz 9: Senkrechte Sehnen, Bogensumme
• Satz 10: Tangenten an einen Kreis, Sekanten und Sehnen, Parallelen
• Satz 11: Senkrechte Sehnen und Radius
• Satz 12: Halbkreis, Durchmesser, Sehnen, Tangenten, Senkrechte
• Satz 13: Kreis, Durchmesser, Sehne, Senkrechte
• Satz 14: Salinon: Halbkreise, Senkrechte, Kreise, Flächen
• Satz 15: Kreis, Durchmesser, einbeschriebenes regelmäßiges Fünfeck, Bogen, Mittelpunkt, Senkrechte, Radius^[26]

In einem weiteren Werk Über Kugel und Zylinder (Originaltitel περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου, latinisiert De Sphaera et Cylindro) behandelte Archimedes ein Theorem der Stereometrie, ein Teilgebiet der Geometrie. Mit ihm bestimmte Archimedes als Erster mit Hilfe von Methoden, welche als Vorläufer der Methoden der modernen Integralrechnung gelten,^[27] den exakten Zusammenhang zwischen Volumen und Oberfläche von Kugel und Kreiszylinder.

Der folgende Satz wird manchmal auch als Satz des Archimedes bezeichnet:^[28]

Das Volumen einer Halbkugel ist gleich der Differenz der Volumina des umgebenden Kreiszylinders und des darin enthaltenen Kreiskegels gleicher Höhe und gleicher Grundfläche.

• Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. IO:Alfonsi Borelli, praefatio ad Lectorem. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 379–413 (Titelblatt, S. 379). 
• Thomas L. Heath: The Works of Archimedes. University of Cambridge, Cambridge 1897, Cambridge 1897, S. xxxii, 301–318 (englisch, Titelblatt, Chapter II S. xxxii, S. 301). 
• Fritz Kliem: Archimedes' Werke : Mit modernen Bezeichnungen / hrsg. u. mit e. Einl. versehen von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Fritz Kliem. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 456–470 (S. 456). 
• Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics (= New Mathematical Library. Band 13). The Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1998, ISBN 0-88385-613-1, S. 77. 
• Archimedes: Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina. Im Anhang: Kreismessung / Übersetzt von F. Rudio - Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen / Übersetzt von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen. 3., unveränderter reprografischer Nachdruck. 3. Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972, ISBN 3-534-02029-4. 
• E. J. Dijksterhuis: Archimedes (translated by C. Dikshoorn). Princeton University Press, Princeton NJ 1987, ISBN 0-691-08421-1. 
• Howard Eves: Great Moments in Mathematics (Before 1650) (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 5). The Mathematical Association of America, Washington 1980, ISBN 0-88385-305-1. 
• H. Fenkner: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0. 
• Great Books of the Western World, Band 11: Book of Lemmas, Encyclopædia Britannica, 1952

• The Book of Lemmas aus cut-the-knot.org, abgerufen am 11. Dezember 2022

Faksimiles der lateinischen (Liber Assumptorum), der englischen (Book of Lemmas) und der deutschen (Buch der Hilfssätze) Fassung sind als Digitalisate verfügbar, und zwar jeweils zum Online-Lesen und zum Download als PDF-Dokument.

• Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum ... (Liber Assumptorum ab Seite 379) bei der ETH Zürich
• Heath: The Works of Archimedes (Book of Lemmas ab Seite 301), im Internet Archive
• Kliem: Archimedes' Werke ... (Buch der Hilfssätze ab Seite 456), im Internet Archive

• Archimedes' Book of Lemmas. Geometry Step by Step from the Land of the Incas, abgerufen am 21. April 2012.  – Diagramme
• Alexander Bogomolny: The Book of Lemmas. Cut The Knot, abgerufen am 21. April 2012.  – interaktive Java-Applets

1. ↑ ^{a b} Liber assumptorum. In: Infothek der Scholastik. Universität Regensburg, archiviert vom Original am 15. Juni 2018; abgerufen am 12. Dezember 2022. 
2. ↑ From Euclid to Newton: An Exhibition in Honor of the 1999 Conference of the Mathematical Association of America. Brown University Library, abgerufen am 15. Mai 2016. 
3. ↑ Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. 1998, S. 77
4. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Vorwort zur deutschen Ausgabe. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. VII (archive.org). 
5. ↑ ^{a b} Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Buch der Hilfssätze. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 456 ff. (archive.org). 
6. ↑ Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. Propositio XVII. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 385 (mpg.de). 
7. ↑ Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. Propositio XVII. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 411–413 (mpg.de). 
8. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 4. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 459 (archive.org). 
9. ↑ Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. Propositio IV. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 390 (mpg.de). 
10. ↑ Thomas L. Heath: The Works of Archimedes. University of Cambridge, Cambridge 1897, S. 304 (englisch, aproged.pt [PDF]). 
11. ↑ Thomas L. Heath: The Works of Archimedes. University of Cambridge, Cambridge 1897, S. xxxii (englisch, aproged.pt [PDF]). 
12. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 21 (archive.org). 
13. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 1. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 456 (archive.org). 
14. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 49
15. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 2. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 457 (archive.org). 
16. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 34
17. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 4. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 458 (archive.org). 
18. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 5. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 459 (archive.org). 
19. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 6. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 462 (archive.org). 
20. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 6. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 461 (archive.org). 
21. ↑ ^{a b} Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 7. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 463 (archive.org). 
22. ↑ Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. Propositio VII. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 398–399 (mpg.de). 
23. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 8. Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 463 (archive.org). 
24. ↑ Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. Notae in Proposit. VIII. Ex Typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 400 (mpg.de). 
25. ↑ Fritz Kliem: Archimedes' Werke. Satz 8., Fußnote 1). Verlag von 0. Häring, Berlin 1914, S. 463 (archive.org). 
26. ↑ Geometry: Archimedes' Book of Lemmas Index aus gogeometry.com, abgerufen am 11. Dezember 2022
27. ↑ Eves: S. 85
28. ↑ Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926, S. 347.