Brillouin-Funktion

Die Brillouin-Funktion ${\displaystyle B(x)}$ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{alignedat}}}$

Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:

• ${\displaystyle J}$ in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
• ${\displaystyle \coth }$ für den Kotangens hyperbolicus.

Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung ${\displaystyle M}$ eines Paramagneten der Stoffmenge ${\displaystyle N}$ in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=NmB_{J}(\xi )\\\Leftrightarrow B_{J}(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}}$

mit

• dem magnetischen Moment ${\displaystyle m}$ eines Teilchens
• dem Parameter ${\displaystyle \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}={\frac {g\mu _{\mathrm {B} }\,JB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}}$
  • dem Betrag ${\displaystyle B}$ der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
  • der Boltzmann-Konstante ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$
  • der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$
  • dem Landé-Faktor ${\displaystyle g}$
  • dem Bohrschen Magneton ${\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }}$.

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion ${\displaystyle L}$, die sich im Limes ${\displaystyle J\to \infty }$ und zugleich ${\displaystyle g\mu _{\mathrm {B} }\to 0}$ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=NmL(\xi )\\\Leftrightarrow L(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}}$

• Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.

• Freie Spins im Magnetfeld
• Magnetismus und Thermodynamik