Erdős-Woods-Vermutung

Die Erdős-Woods-Vermutung aus der Zahlentheorie von Alan Robert Woods,^[1] aufgestellt 1981 in seiner Dissertation,^[2] besagt:

Gegeben sei eine beliebige ganze Zahl ${\displaystyle n\geq 2}$. Dann gibt es eine positive ganze Zahl ${\displaystyle k}$, so dass ${\displaystyle n}$ durch die Liste der Primfaktoren von ${\displaystyle n+1,\dotsc ,n+k}$ eindeutig bestimmt wird.

Man beachte, dass nur die Liste der Primfaktoren vorgegeben ist, nicht deren Multiplizität. Die Vermutung ist nur in Spezialfällen bewiesen.

Bezeichnet man mit ${\displaystyle rad(m)}$ die Menge der verschiedenen Primfaktoren von ${\displaystyle m}$, so lässt sie sich auch so formulieren:

Es gibt eine ganze Zahl ${\displaystyle k\geq 3}$, so dass aus ${\displaystyle rad(n+i)=rad(m+i)}$ für ${\displaystyle i=1,2,\dotsc ,k}$ folgt ${\displaystyle m=n}$.

Die Vermutung ist zusätzlich nach Paul Erdős benannt, da dieser 1980^[3] eine Vermutung aufstellte, aus der die Erdős-Woods-Vermutung folgte (wie Woods explizit anmerkte).

Es gilt ${\displaystyle k\geq 3}$, da für kleinere Werte Gegenbeispiele angegeben werden können.

• Gegenbeispiel für ${\displaystyle k=1}$:

Sei ${\displaystyle n:=8=2^{3}}$ und ${\displaystyle m:=26=2\cdot 13}$.

Dann ist ${\displaystyle n+1=9=3^{2}}$ und ${\displaystyle m+1=27=3^{3}}$ und somit ${\displaystyle rad(n+1)=rad(m+1)=\{3\}}$.

Es ist ${\displaystyle m\not =n}$, somit wurde ein Gegenbeispiel der Erdős-Woods-Vermutung für den Fall ${\displaystyle k=1}$ gefunden.

• Gegenbeispiel für ${\displaystyle k=2}$:

Sei ${\displaystyle n:=74=2\cdot 37}$ und ${\displaystyle m:=1214=2\cdot 607}$.

Dann ist ${\displaystyle n+1=75=3\cdot 5^{2}}$ und ${\displaystyle m+1=1215=3^{5}\cdot 5}$ und somit ${\displaystyle rad(n+1)=rad(m+1)=\{3,5\}}$.

Weiters ist ${\displaystyle n+2=76=2^{2}\cdot 19}$ und ${\displaystyle m+2=1216=2^{6}\cdot 19}$ und somit ${\displaystyle rad(n+2)=rad(m+2)=\{2,19\}}$.

Es ist ${\displaystyle m\not =n}$, somit wurde ein Gegenbeispiel der Erdős-Woods-Vermutung für den Fall ${\displaystyle k=2}$ gefunden.

• Beispiel für ${\displaystyle k=3}$:

Sei ${\displaystyle n:=26=2\cdot 13}$.

Dann ist ${\displaystyle n+1=27=3^{3}}$ und somit ${\displaystyle rad(n+1)=\{3\}}$.

Es ist ${\displaystyle n+2=28=2^{2}\cdot 7}$ und somit ${\displaystyle rad(n+2)=\{2,7\}}$.

Weiters ist ${\displaystyle n+3=29\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und somit ${\displaystyle rad(n+3)=\{29\}}$.

Es gibt tatsächlich keine andere natürliche Zahl ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, sodass ${\displaystyle rad(n+i)=rad(m+i)}$ mit ${\displaystyle i=1,2,3}$ gilt. Grund dafür ist der folgende Satz:

Sei ${\displaystyle p\geq 5}$ eine Primzahl und ${\displaystyle n=p-3}$. Dann ist die Erdős-Woods-Vermutung wahr mit ${\displaystyle k=3}$.^[4]

Die Vermutung folgt aus der unbewiesenen abc-Vermutung: Michel Langevin bewies 1993 unter Annahme der abc-Vermutung, dass ${\displaystyle k=3}$ für ${\displaystyle n>C}$ mit einer Konstante ${\displaystyle C}$.^[5][6] Die Erdős-Woods Vermutung wird durch unendlich viele ganze Zahlen ${\displaystyle n}$ erfüllt.^[7] Weiter ist sogar für ${\displaystyle k=2}$ die Anzahl positiver ganzer Zahlen ${\displaystyle n\leq x}$, die die Vermutung erfüllen, mindestens ${\displaystyle d{\frac {x}{\log x}}}$ mit einer Konstante ${\displaystyle d>2}$ (Subburam, Thangadurai).

In der Dissertation von Woods ging es darum, ob die Multiplikation in einer logischen Sprache über den natürlichen Zahlen definierbar ist, in der es das Prädikat des Nachfolgers einer natürlichen Zahl gibt und das Prädikat, dass zwei Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben (das Problem stammte von Julia Robinson). Woods bewies, dass dies äquivalent zu der Erdős-Woods-Vermutung ist.^[8] Außerdem bewies er, dass die Definierbarkeit der Multiplikation äquivalent zu der Definierbarkeit jeweils von Addition, Gleichheit und der Kleiner-Gleich-Relation ist.

1. ↑ Woods war Adjunct Professor an der University of Western Australia und starb 2011. Vale Alan Woods, Australian Mathematical Society (Memento vom 23. November 2012 im Internet Archive)
2. ↑ Woods, Some problems in logic and number theory, and their connections, Dissertation, University of Manchester 1981. Doktorvater war Jeff Paris (https://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=59312)
3. ↑ Erdős, How many pairs of products of consecutive integers have the same prime factors?, American Mathematical Monthly, Band 87 (5), 1980, S. 391–392
4. ↑ S. Subburam, R. Thangadurai: On Erdős-Wood’s conjecture, Proc. Indian Acad. Sci., Band 125, 2015, S. 139–147, Corrollary 1.1 auf S. 140
5. ↑ Michel Langevin, Cas d'égalite pour le théorème de Mason et applications de la conjecture (abc), C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Band 317 (5), 1993, S. 441–444
6. ↑ Für den Beweis siehe Jörn Steuding, Diophantine Analysis, Chapman and Hall 2005, S. 186
7. ↑ S. Subburam, R. Thangadurai: On Erdős-Wood’s conjecture, Proc. Indian Acad. Sci., Band 125, 2015, S. 139–147
8. ↑ Woods, Dissertation, S. 53