Falksches Schema

Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der schriftlichen Matrizenmultiplikation bietet. Der linke Faktor, die ${\displaystyle (m\times r)}$-Matrix, wird links von der ${\displaystyle (m\times n)}$-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die ${\displaystyle (r\times n)}$-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ${\displaystyle i}$-te Zeile des linken Multiplikanden und die ${\displaystyle j}$-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sind die Matrizen

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{r}1&4\\2&5\\3&-6\end{array}}\right)}$ und ${\displaystyle B=\left({\begin{array}{r}-1&1\\1&-2\\\end{array}}\right)}$ .

Dann sieht das Falksche Schema zur Berechnung der Produktmatrix ${\displaystyle C=A\cdot B}$ wie folgt aus:

${\displaystyle {\begin{array}{c}&\left({\begin{array}{r}-1&1\\1&-2\end{array}}\right)\\\left({\begin{array}{r}1&4\\2&5\\3&-6\end{array}}\right)&\left({\begin{array}{r}3&-7\\3&-8\\-9&15\end{array}}\right)\end{array}}}$

Hierbei steht die Produktmatrix ${\displaystyle C}$ unten rechts.

Rechenweg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zunächst werden die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben werden (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen). Man erkennt bereits anhand des Schemas, dass ${\displaystyle C}$ eine ${\displaystyle (3\times 2)}$-Matrix sein muss.

Dann werden Schritt für Schritt die Einträge von ${\displaystyle C}$ berechnet. Meist fängt man beim Eintrag ${\displaystyle c_{11}}$an. Hierzu wird die 1. Zeile von ${\displaystyle A}$ mit der 1. Spalte von ${\displaystyle B}$ „multipliziert“. Gemeint ist damit, dass das Skalarprodukt der entsprechenden Zeile und Spalte gebildet wird: ${\displaystyle 1\cdot (-1)+4\cdot 1}$. Das Ergebnis wird genau im Kreuzungspunkt der 1. Zeile von ${\displaystyle A}$ und der 1. Spalte von ${\displaystyle B}$ eingetragen.

Die erste Zeile von ${\displaystyle A}$ wird mit der zweiten Spalte von ${\displaystyle B}$ multipliziert: ${\displaystyle 1\cdot 1+4\cdot (-2)}$. Das Ergebnis ist das Element ${\displaystyle c_{12}=-7}$.

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von ${\displaystyle A}$ mit der zweiten Spalte von ${\displaystyle B}$ multipliziert: ${\displaystyle 3\cdot 1+(-6)\cdot (-2)}$. Das Ergebnis ist das Element ${\displaystyle c_{32}=15}$.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Sigurd Falk: Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation. In: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM). Band 31, Nr. 4–5, 1951, ISSN 0044-2267, S. 152–153, doi:10.1002/zamm.19510310409. 
• Rudolf Zurmühl: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Vierte neubearbeite Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1964, S. 17 (XII, 452, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk: Matrizen und Ihre Anwendungen: Teil 1, Grundlagen. 7. Aufl., Nachdruck in veränd. Ausstattung. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2011, ISBN 978-3-642-17542-8, S. 17 (XIV, 496 S.). 
• Sascha Kurz, Jörg Rambau: Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Kohlhammer Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-17-019882-1, S. 29–30. 
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 4. Auflage. Band 2. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-9730-5, S. 525–528. 
• Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
• Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022