Konvexe Fläche
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Eine Konvexe Fläche (von lateinisch convexus ‚nach oben oder unten gewölbt‘) ist eine nach außen gewölbte Fläche.[1] Sie ist die Negativform einer konkaven Fläche. Diese Definition setzt eine Definition von „innen“ und „außen“ voraus, die bei der Betrachtung der Ober- oder Grenzflächen von physischen Körpern meist gegeben ist.
Spezielle Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Soweit nicht anders erwähnt gelten diese Definitionen für beliebig ganzzahlig dimensionale Körper.[2]
Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Speziell in der Mathematik versteht man unter konvexe Fläche die Menge oder eine zusammenhängende Teilmenge der nicht-inneren Punkte (umgangssprachlich:die Oberfläche) eines konvexen Körpers, der wiederum als eine abgeschlossene und beschränkte konvexe Menge (als Teilmenge eines euklidischen Raums definiert ist.[2] Anschaulich bedeutet dies, dass die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten der konvexen Fläche ausschließlich Elemente des komplexen Körpers beinhaltet. Jede (Teil-)Oberfläche eines konvexen Körpers ist ebenfalls eine konvexe Fläche und umgekehrt ist ein Körper, bei dem jede beliebige Teiloberfläche konvex ist, ein konvexer Körper.[3] Diese Definition schließt ebene Flächen mit ein.
Ebene Geomentrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der zweidimensionalen (ebenen) Geometrie wird aber auch eine Fläche mit konvexem Rand als konvexe Fläche bezeichnet, wobei die zweidimensionale Fläche selbst hier mathematisch korrekt den zweidimensionalen konvexen Körper darstellt und ihre eindimensionaler Randlinie die konvexe Fläche.
Differentialgeometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Differentialgeometrie heißt eine Fläche dann konvex, wenn in jedem ihrer Punkte eine Umgebung existiert, für die alle Punkte der Umgebung auf einer Seite der Tangentialebene liegen.[4]
Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
A: Körper mit einer einachsig konvex gekrümmten Oberfläche
B: Körper mit einer einachsig konkav gekrümmten Oberfläche
Die Bezeichnung wird in der Geometrie zur Beschreibung der (Teil-)Oberflächen von Körpern benutzt, weiterhin insbesondere bei optischen Bauelementen (bspw. konvexe Linse, Konvexspiegel), in der Architektur, der Grenzflächenphysik oder in der Bildhauerei.
Eine konvexe Fläche kommt z. B. bei optischen Linsen als Licht sammelnde (Sammellinse)[5] und bei Spiegeln als zerstreuende Oberfläche vor, wobei sie meistens sphärisch, oft auch zylindrisch, aber selten (rotationssymmetrisch) asphärisch geformt ist. In den Anwendungen einer konkaven Fläche in der Optik sind die Wirkungen jeweils umgekehrt.
Das Kuppeldach eines Gebäudes ist eine konvexe und seine Unterseite eine konkave Fläche (beide sphärisch).
Der Untergurt eines Fischbauchträgers hat eine konvexe Außenfläche (zylindrisch; den i. d. R. als Fachwerk gestalteten Träger als Vollkörper gedacht).
Kennzeichen einer Hohlkehle ist ihre konkave Oberfläche (zylindrisch bei gerader Kehle).
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ konvex. In: duden.de. Duden Verlag, abgerufen am 11. November 2022.
- ↑ a b Werner Fenchel, Tommy Bonnesen: Theorie der Konvexen Körper. Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 3-642-47404-7, §1 Grundbegriffe, S. 3 (Erstausgabe: 1934).
- ↑ A. D. Alexandrov: Die innere Geometrie der konvexen Flächen. Akademie-Verlag, Berlin 1955.
- ↑ R. Walden, W. Vortisch, H. Huck, U. Simon, B. Wegner, R. Roitzsch, W. Wendland: Beweismethoden der Differentialgeometrie im Großen. Springer, Berlin Heidelberg 2006, ISBN 3-540-46990-7, §3 Spezielle Flächenklassen, S. 26 (Erstausgabe: 1973).
- ↑ Horst Kuchling: Taschenbuch der Physik. Hrsg.: VEB Fachbuchverlag Leipzig. 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun 1982, ISBN 3-87144-097-3, 25.4.1 Linsenarten, S. 349.