Leech-Gitter

In der Mathematik ist das Leech-Gitter, benannt nach John Leech, ein 24-dimensionales Gitter, das unter anderem zur Konstruktion besonders effizienter Kugelpackungen im 24-dimensionalen Raum verwendet wird.

Möglicherweise wurde es schon 1940 von Ernst Witt entdeckt.^[1]

Die Knoten des Leech-Gitters sind die Vektoren der Form

${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(a_{1},\ldots ,a_{24})\in \mathbb {R} ^{24}}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{24}}$, für die

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

gelten soll.

Dabei sind ${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$ der Reelle Zahlenraum in 24 Dimensionen, ${\displaystyle \equiv }$ ist das Zeichen für Äquivalenz und ${\displaystyle {\pmod {\cdot }}}$ ist die Abkürzung für Modulo.

Das Leech-Gitter ist bis auf Isomorphie das einzige Gitter im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$ mit den folgenden Eigenschaften:

• Es ist unimodular, d. h., das Gitter ist ganz, besitzt also eine ganzzahlige Gram-Matrix, und die Determinante dieser Gram-Matrix ist gleich ${\displaystyle 1}$.
• Es ist gerade, d. h., das Quadrat der Norm jedes Knotens ist eine gerade ganze Zahl.
• Die Norm jedes von Null verschiedenen Knotens ist mindestens ${\displaystyle 2}$.

Die Kugeln vom Radius ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ um die Knoten des Leech-Gitters bilden eine Kugelpackung, bei der jede Kugel genau 196.560 andere Kugeln berührt.

Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko und Maryna Viazovska bewiesen 2016, dass das Leech-Gitter die optimale 24-dimensionale Kugelpackung ist.^[2]

Die Symmetriegruppe des Leech-Gitters ist die Conway-Gruppe ${\displaystyle C_{0}}$, sie hat 8 315 553 613 086 720 000 Elemente.

Das Leech-Gitter hat keine Spiegelungssymmetrien.

• Video: Gauß-Vorlesung von Maryna Viazovska über das Leech-Gitter (auf Englisch).

• John Leech: Notes on sphere packings In: Canadian Journal of Mathematics, Jg. 19 (1967), S. 251–267.
• John Conway, Neil Sloane: Sphere packings, lattices and groups. Third edition. With additional contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and B. B. Venkov (= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 290). Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 0-387-98585-9.

Populärwissenschaftlich:

• George Szpiro: Die Keplersche Vermutung. Wie Mathematiker ein 400 Jahre altes Rätsel lösten. Aus dem Englischen übersetzt von Manfred Stern. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-12740-3.
• Marcus du Sautoy: Finding moonshine. A mathematician’s journey through symmetry. Fourth Estate, London 2008, ISBN 978-0-00-721461-7.
• Thomas Thompson: From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups (= Carus Mathematical Monographs, Bd. 21). Mathematical Association of America, Buffalo 1983, ISBN 0-88385-023-0; Neuausgabe 2004, ISBN 0-88385-037-0.

• Erweiterter (24,12;8,2)-Golay-Code

1. ↑ Witt erwähnt in Witt, Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Band 14, 1941, S. 323–337, dass er mehr als zehn gerade unimodulare Gitter in 24 Dimensionen fand ohne Näheres mitzuteilen. Im Kommentar zu seinen Gesammelten Abhandlungen (Springer 1998, S. 328–329) gab er an, das Leech-Gitter 1940 gefunden zu haben.
2. ↑ Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska: The sphere packing problem in dimension 24. online (PDF; 335 kB)