Gruppenoperation

In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ als „aktiver“ Teil und eine Menge ${\displaystyle X}$ als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements ${\displaystyle g\in G}$ auf der Menge ${\displaystyle X}$ ist eine Transformation (bijektive Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente ${\displaystyle g,h\in G}$ auf den Elementen der Menge ${\displaystyle X}$ in der Weise, dass die Aktion des Produkts ${\displaystyle g*h}$ der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.

Die operierende Gruppe ${\displaystyle G}$ wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge ${\displaystyle X}$ zusammen mit der Operation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ heißt ${\displaystyle G}$-Menge.

Ist bei der Menge ${\displaystyle X}$ zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische, topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.

Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

${\displaystyle ABCDEFGH}$ seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h., ${\displaystyle ABCD}$ und ${\displaystyle EFGH}$ sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:

${\displaystyle A\;\,\mapsto \;\,B\;\,\mapsto \;\,C\;\,\mapsto \;\,D\;\,\mapsto \;\,A}$   und gleichzeitig

${\displaystyle E\;\,\mapsto \;\,F\;\,\mapsto \;\,G\;\,\mapsto \;\,H\;\,\mapsto \;\,E.}$

Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die vier Raumdiagonalen vertauscht, nämlich

${\displaystyle AG\mapsto BH\mapsto CE\mapsto DF\mapsto AG.}$

Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene ${\displaystyle ABGH}$ (viertes Bild), lässt die zwei Raumdiagonalen ${\displaystyle AG}$ und ${\displaystyle BH}$ fest und vertauscht die anderen zwei:

${\displaystyle CE\mapsto DF}$   und   ${\displaystyle DF\mapsto CE.}$

Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht

${\displaystyle A\mapsto G\mapsto A}$   und gleichzeitig

${\displaystyle B\mapsto H\mapsto B}$   und gleichzeitig

${\displaystyle C\mapsto E\mapsto C}$   und gleichzeitig

${\displaystyle D\mapsto F\mapsto D.}$

Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale, wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.

Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.

Es gibt nun zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar ${\displaystyle CE}$ und ${\displaystyle DF}$), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es ${\displaystyle 4!=24}$ dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt

${\displaystyle 24\cdot 2=48}$

Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)

Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ auf einer Menge ${\displaystyle X}$ ist eine äußere zweistellige Verknüpfung

${\displaystyle \triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x,}$

mit folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle e\triangleright x=x}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element von ${\displaystyle G}$ ist     („Identität“),
2. ${\displaystyle (g*h)\triangleright x=g\triangleright (h\triangleright x)}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G,x\in X}$     („Verträglichkeit“).

Man sagt dann, ${\displaystyle G}$ operiert (von links) auf ${\displaystyle X}$, und nennt ${\displaystyle X}$ zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke) ${\displaystyle G}$-Menge.

Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes ${\displaystyle g\in G}$ die Transformation ${\displaystyle \vartheta _{g\,\triangleright }\colon X\to X;\quad x\mapsto g\triangleright x,}$ eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung ${\displaystyle \vartheta _{g\,\triangleright }^{-1}}$ ist ${\displaystyle \vartheta _{g^{-1}\triangleright }\colon X\to X;\quad x\mapsto g^{-1}\triangleright x}$). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements ${\displaystyle g}$ nicht nur eine Selbstabbildung, sondern eine Permutation von ${\displaystyle X}$, und eine Gruppenoperation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ kann mit einem Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle (G,*)}$ in die symmetrische Gruppe ${\displaystyle (\operatorname {Sym} (X),\circ )}$ gleichgesetzt werden.

Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung

${\displaystyle \triangleleft \colon X\times G\to X;\qquad (x,g)\mapsto x\triangleleft g}$

mit

1. ${\displaystyle x\triangleleft e=x}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ und das neutrale Element ${\displaystyle e}$ von ${\displaystyle G,}$
2. ${\displaystyle x\triangleleft (g*h)=(x\triangleleft g)\triangleleft h}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G,x\in X.}$

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen ${\displaystyle g*h}$ auf ${\displaystyle X}$ operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst ${\displaystyle h}$ und dann ${\displaystyle g}$, während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.

Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt ${\displaystyle g}$ von links ${\displaystyle g^{-1}}$ von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation ${\displaystyle \triangleleft }$ gibt es eine Linksoperation

${\displaystyle \triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x:=x\triangleleft g^{-1},}$

denn

${\displaystyle e\triangleright x=x\triangleleft e^{-1}=x\triangleleft e=x}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}(g*h)\triangleright x&=x\triangleleft (g*h)^{-1}=x\triangleleft (h^{-1}*g^{-1})\\&=(x\triangleleft h^{-1})\triangleleft g^{-1}=(h\triangleright x)\triangleleft g^{-1}=g\triangleright (h\triangleright x).\end{aligned}}}$

Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Es sei ${\displaystyle \triangleright }$ die (Links-)Operation einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ auf einer Menge ${\displaystyle X.}$ Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ nennt man dann

${\displaystyle G\triangleright x:=\{g\triangleright x\mid g\in G\}}$

die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von ${\displaystyle x.}$ Die Bahnen bilden eine Partition von ${\displaystyle X.}$ Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes ${\displaystyle x_{0}\in X}$ nennt man die durch

${\displaystyle g\mapsto gx_{0}}$

gegebene Abbildung ${\displaystyle G\to X}$ die „Orbitabbildung“.

Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:

${\displaystyle x\sim y}$

genau dann, falls es ein ${\displaystyle g\in G}$ gibt, für das ${\displaystyle g\triangleright x=y}$ gilt.

Die Menge ${\displaystyle G\backslash X:=\{G\triangleright x\mid x\in X\}}$ der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt.

Für eine Rechtsoperation ${\displaystyle \triangleleft }$ definiert man analog

${\displaystyle x\triangleleft G:=\{x\triangleleft g\mid g\in G\}}$

und

${\displaystyle X/G:=\{x\triangleleft G\mid x\in X\}.}$

Seien ${\displaystyle X}$ eine Menge und ${\displaystyle G}$ eine Transformationsgruppe von ${\displaystyle X}$. Für einen Punkt ${\displaystyle x\in X}$ bezeichne ${\displaystyle G\triangleright x}$ die Bahn von ${\displaystyle x}$. Dann heißt die Menge ${\displaystyle F\subset X}$ ein Fundamentalbereich von ${\displaystyle X}$, wenn der Schnitt ${\displaystyle G\triangleright x\cap F}$ für jedes ${\displaystyle x\in X}$ eine einelementige Menge ist.^[1]

Beispiel

Das Quadrat ${\displaystyle [0,1)\times [0,1)}$ ist ein Fundamentalbereich von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bezüglich der Transformationsgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$. Jeder Punkt ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ lässt sich schreiben als ${\displaystyle (u+m,v+n)}$ mit ${\displaystyle (m,n):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor )\in \mathbb {Z} ^{2}}$ und ${\displaystyle (u,v):=(x-m,y-n)\in [0,1)\times [0,1)}$.

Man bezeichnet die Gruppenoperation ${\displaystyle \triangleright }$ von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert (einfach) transitiv auf ${\displaystyle X}$“, wenn es zu je zwei Elementen ${\displaystyle x,y\in X}$ ein ${\displaystyle g\in G}$ gibt, so dass ${\displaystyle g\triangleright x=y}$ gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz ${\displaystyle X}$ umfasst. Ist das Gruppenelement ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle g\triangleright x=y}$ darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente ${\displaystyle x,y\in X}$ eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.

Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in X^{2}}$ mit ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ und jedem Paar von Bildern ${\displaystyle (y_{1},y_{2})\in X^{2}}$ mit ${\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}$ ein Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$, für das ${\displaystyle g\triangleright x_{1}=y_{1}}$ und ${\displaystyle g\triangleright x_{2}=y_{2}}$ ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“ auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) vorkommen.

Allgemein bestimmt eine Operation ${\displaystyle \triangleright }$ der Gruppe ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$ stets eine Operation

${\displaystyle \triangleright _{k}\colon G\times X^{k}\to X^{k}}$

auf den geordneten Teilmengen von ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle k}$ Elementen (k-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten) durch

${\displaystyle g\triangleright _{k}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k})=(g\triangleright x_{1},g\triangleright x_{2},\dotsc ,g\triangleright x_{k}).}$

Ist ${\displaystyle \triangleright _{k}}$ (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation ${\displaystyle \triangleright }$ (scharf) ${\displaystyle k}$-fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via ${\displaystyle \triangleright }$ genau dann ${\displaystyle k}$-fach transitiv auf ${\displaystyle X,}$ wenn ${\displaystyle X^{k}}$ bezüglich ${\displaystyle \triangleright _{k}}$ nur eine Bahn (nämlich ${\displaystyle X^{k}}$ selbst) hat, scharf ${\displaystyle k}$-fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel) ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in X^{k}}$ dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ mit ${\displaystyle g\triangleright _{k}t_{1}=t_{2}}$ gibt. Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.

Beispiele

• Die Vierergruppe ${\displaystyle V_{1}:=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$ operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge ${\displaystyle M:=\{1,2,3,4\}}$, da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe ${\displaystyle V_{2}:=\{e,(12),(34),(12)(34)\}}$, die isomorph zu ${\displaystyle V_{1}}$ ist.
• Die Galoisgruppe eines über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ irreduziblen Polynoms mit rationalen Koeffizienten operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.^[2]

Hat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sie intransitiv. Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.

Eine Verallgemeinerung der ${\displaystyle k}$-fach transitiven Operation ist die ${\displaystyle k}$-fach homogene Operation. Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert ${\displaystyle k}$-fach homogen auf der Menge ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \setminus \{0\},}$ wenn es für zwei beliebige Teilmengen ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ mit je genau ${\displaystyle k}$ Elementen stets mindestens ein Gruppenelement ${\displaystyle g\in G}$ gibt, das ${\displaystyle U}$ auf ${\displaystyle V}$ abbildet, also mit ${\displaystyle g\triangleright U=V.}$ Jede ${\displaystyle k}$-fach transitive Operation ist auch ${\displaystyle k}$-fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die ${\displaystyle k}$ vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

Für ein ${\displaystyle x\in X}$ nennt man

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\triangleright x=x\}}$

den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von ${\displaystyle x.\;(G_{x},*)}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle (G,*)}$, die auf ${\displaystyle G}$ operiert. Durch die Operation ${\displaystyle \triangleright }$ ist dann eine kanonische Bijektion zwischen dem Bahnenraum (Nebenklassen, siehe unten) des Stabilisators und der Bahn von ${\displaystyle x}$ gegeben:

${\displaystyle G/G_{x}\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;G\triangleright x,\quad g*G_{x}\mapsto g\triangleright x.}$

${\displaystyle G_{x}}$ operiert (durch Einschränkung von ${\displaystyle \triangleright }$) auf ${\displaystyle X\setminus \{x\}.}$ Ist diese Operation ${\displaystyle k}$-fach transitiv und ${\displaystyle G_{x}\neq G,}$ so ist die Operation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ sogar ${\displaystyle (k+1)}$-fach transitiv.

Ist ${\displaystyle Y\subseteq X}$ eine Teilmenge und ${\displaystyle H\subseteq G}$ eine Untergruppe, und gilt

${\displaystyle H\triangleright Y\subseteq Y}$ mit ${\displaystyle H\triangleright Y:=\{h\triangleright y\mid h\in H,y\in Y\},}$

so sagt man, dass ${\displaystyle Y}$ stabil unter ${\displaystyle H}$ ist oder dass ${\displaystyle Y}$ von ${\displaystyle H}$ stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar ${\displaystyle H\triangleright Y=Y.}$ Der Stabilisator eines Punktes ${\displaystyle x\in X}$ ist also die maximale Untergruppe von ${\displaystyle G,}$ die ${\displaystyle \{x\}}$ stabilisiert.

Die Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h. ${\displaystyle G_{x}=\{e\}}$ für alle ${\displaystyle x\in X.}$

Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (X)}$ trivialen Kern hat, also injektiv ist. Für treue Operationen kann ${\displaystyle G}$ als Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge ${\displaystyle X}$ sagt man auch: „${\displaystyle G}$ operiert als Permutationsgruppe auf ${\displaystyle X.}$“

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Wenn ${\displaystyle Y}$ eine weitere Menge mit einer ${\displaystyle G}$-Linksoperation ${\displaystyle \star }$ ist und ${\displaystyle \varphi \colon X\to Y}$ eine Abbildung, so dass für alle ${\displaystyle g\in G}$ und für alle ${\displaystyle x\in X}$ gilt:

${\displaystyle \varphi (g\triangleright x)=g\star \varphi (x),}$

dann wird ${\displaystyle \varphi }$ als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von ${\displaystyle G}$-Mengen bezeichnet.

Die Äquivalenzklassen der oben eingeführten Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ sind genau die Bahnen. Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von ${\displaystyle X}$ ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Genauer gilt (mit ${\displaystyle G_{x}}$ als der Fixgruppe von ${\displaystyle x}$) der

Bahnensatz: Ist ${\displaystyle x\in X,}$ dann ist die Abbildung ${\displaystyle i\colon G_{x}\backslash G\to G\triangleright x;\quad G_{x}*g\mapsto g\triangleright x,}$ eine Bijektion.

Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ die Bahnformel

${\displaystyle |G\triangleright x|\cdot |G_{x}|=|G|.}$

Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von ${\displaystyle G.}$

Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ auf sich selbst: ${\displaystyle *}$ ist stets eine Operation auf ${\displaystyle G}$, denn ${\displaystyle (g*h)*x=g*(h*x)}$ und ${\displaystyle e*g=g.}$

Die Abbildung ${\displaystyle \Theta \colon G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ordnet jedem Gruppenelement ${\displaystyle g}$ die Linkstranslation ${\displaystyle \vartheta _{g*}}$ mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist ${\displaystyle {\Theta }}$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n\!}.}$

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation ${\displaystyle \vartheta _{*g}.}$

Betrachtet man eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G,}$ dann operiert auch ${\displaystyle H}$ auf ${\displaystyle G.}$ Die Bahn ${\displaystyle H*g}$ eines Elements ${\displaystyle g\in G}$ heißt dann auch Rechtsnebenklasse und ${\displaystyle g*H}$ Linksnebenklasse von ${\displaystyle g.}$ Man beachte, dass im Allgemeinen nicht ${\displaystyle g*H=H*g}$ sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

${\displaystyle G:H:=|H\backslash G|.}$

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt ${\displaystyle |H*g|=|H|}$ für jedes ${\displaystyle g\in G.}$ Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe ${\displaystyle H}$ einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ gilt:

${\displaystyle |G|=(G:H)\cdot |H|.}$

Insbesondere ist die Ordnung von ${\displaystyle H}$ ein Teiler der Ordnung von ${\displaystyle G.}$

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

${\displaystyle G:H=|H\backslash G|=|G/H|.}$

Eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G}$ heißt Normalteiler, wenn ${\displaystyle g*H=H*g}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$ gilt. Ist ${\displaystyle H}$ ein Normalteiler von ${\displaystyle G,}$ dann wird durch

${\displaystyle (g_{1}*H)\circledast (g_{2}*H):=(g_{1}*g_{2})*H}$

eine Verknüpfung auf ${\displaystyle G/H}$ definiert, mit der ${\displaystyle (G/H,\circledast )}$ eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von ${\displaystyle (G,*)}$ modulo ${\displaystyle H.}$

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ operiert auf sich durch die Konjugation, also ${\displaystyle g\triangleright h:=g*h*g^{-1}.}$

Die Bahnen werden in diesem Zusammenhang als Konjugationsklassen, die Stabilisatoren als Zentralisatoren bezeichnet. Aus der Bahnformel erhält man in diesem Fall die Klassengleichung.

Die Automorphismen ${\displaystyle \varphi _{g}\colon h\mapsto g*h*g^{-1}}$ heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen wird mit ${\displaystyle \mathrm {Inn} (G)}$ bezeichnet.

Eine elegante Anwendung der Klassengleichung lieferte Ernst Witt mit seinem kurzen Beweis (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Endliche Schiefkörper sind kommutativ.“

Ist ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L/K)}$ die Gruppe aller Automorphismen von ${\displaystyle L,}$ die ${\displaystyle K}$ punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf ${\displaystyle L}$ durch ${\displaystyle \varphi \triangleright x:=\varphi (x).}$ Jede Bahn besteht aus den in ${\displaystyle L}$ liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in ${\displaystyle K,}$ das über ${\displaystyle K}$ irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über ${\displaystyle K,}$ sie haben dasselbe Minimalpolynom über ${\displaystyle K.}$

Ein ${\displaystyle G}$-(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe ${\displaystyle (M,+),}$ auf der eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation ${\displaystyle \triangleright \colon G\times M\to M}$ linksverträglich mit ${\displaystyle +}$ ist, d. h., es gilt

${\displaystyle g\triangleright (x+y)=(g\triangleright x)+(g\triangleright y)}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$ und alle ${\displaystyle x,y\in M.}$

Die Transformationen ${\displaystyle \vartheta _{g\,\triangleright }}$ mit ${\displaystyle g\in G}$ bilden dann die Gruppe ${\displaystyle (\operatorname {Aut} (M),\circ )}$ der Automorphismen auf ${\displaystyle (M,+)}$ und die Abbildung ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (M);\quad g\mapsto \vartheta _{g\,\triangleright }}$ ist ein Gruppenisomorphismus.

Ist insbesondere ${\displaystyle \odot }$ die skalare Multiplikation eines Vektorraums ${\displaystyle (V,\oplus ,\odot )}$ über dem Körper ${\displaystyle (K,+,\cdot ),}$ dann operiert die multiplikative Gruppe ${\displaystyle (K\setminus \{0\},\cdot )}$ auf ${\displaystyle V.}$

Ist allgemeiner ${\displaystyle X}$ ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X}$ definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} X,}$

dabei ist ${\displaystyle \operatorname {Aut} X}$ die Gruppe der Automorphismen von ${\displaystyle X}$ im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

• G-Raum für stetige Gruppenwirkungen
• Lemma von Burnside

Commons: Group actions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Gruppenoperation bei MathWorld (englisch)

1. ↑ Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. 
2. ↑ Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)).