Satz von Banach-Mackey

Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Ist ${\displaystyle B\subset E}$ eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist ${\displaystyle \textstyle E_{B}:=\bigcup _{t>0}tB}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle E}$, der durch das auf ${\displaystyle E_{B}}$ eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man ${\displaystyle B}$ eine Banachkugel.

• Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum ${\displaystyle E_{B}}$ ein Banachraum ist.
• Im Folgenraum ${\displaystyle \omega }$ aller reellen Folgen ist die Menge ${\displaystyle B}$ aller Folgen ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ mit ${\displaystyle x_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle i>n}$ und ${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von ${\displaystyle B}$ auf ${\displaystyle E_{B}\cong \mathbb {R} ^{n}}$ ist gleich der Maximumsnorm.
• Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln.^[1]
• Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Eine Teilmenge ${\displaystyle B\subset E}$ eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist. ${\displaystyle B}$ heißt stark beschränkt, wenn ${\displaystyle \sup\{|f(x)|;\,x\in B,f\in M\}<\infty }$ für alle Teilmengen ${\displaystyle M\subset E^{'}}$ des Dualraums, für die ${\displaystyle \sup\{|f(x)|;\,f\in M\}<\infty }$ für alle ${\displaystyle x\in E}$ gilt.

Indem man für die Mengen ${\displaystyle M}$ in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

• Satz von Banach-Mackey^[2]: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

• Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.^[3]
• Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert.^[4]

1. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Corollar 23.14
2. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.12
3. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.15
4. ↑ R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.20+23.21