Satz von Phragmén-Lindelöf

Der Satz von Phragmén-Lindelöf (auch Prinzip von Phragmén-Lindelöf) ist ein mathematischer Satz für analytische Funktionen, der das Maximumprinzip verallgemeinert. Es existieren verschiedene Varianten und Verallgemeinerungen des Satzes (z. B. von Peter D. Lax für elliptische partielle Differentialgleichungen).^[1]

Das Theorem ist nach Lars Phragmén und Ernst Leonard Lindelöf benannt.

Mit ${\displaystyle \partial _{\infty }D}$ bezeichnet man den erweiterten Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }D:=\partial D\cup \{\infty \}}$ einer Menge ${\displaystyle D}$.

Seien ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ offen und einfach zusammenhängend sowie ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }$ holomorph. Seien weiter ${\displaystyle M\geq 0}$ eine Konstante und ${\displaystyle w:D\to \mathbb {C} }$ eine beschränkte holomorphe Funktion mit ${\displaystyle w(z)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle z\in D}$. Falls sich der erweiterte Rand als ${\displaystyle \partial _{\infty }D=A\cup B}$ schreiben lässt, sodass^[2]

1. für jedes ${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle \limsup _{z\to a,\ z\in D}|f(z)|\leq M}$ ist.
2. für jedes ${\displaystyle b\in B}$ und ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle \limsup _{z\to b,\ z\in D}|f(z)||w(z)|^{r}\leq M}$ ist.

Dann gilt für alle ${\displaystyle z\in D}$, dass ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ ist.

1. ↑ Peter D. Lax: A Phragmen-Lindelöf theorem in harmonic analysis and its application to some questions in the theory of elliptic equations. In: Comm. Pure Appl. Math., 10. 1957, S. 361–389. 
2. ↑ John B. Conway: Functions of One Complex Variable. Hrsg.: Springer-Verlag. 1973, ISBN 978-0-387-90062-9, S. 134–135.