Kurve mit Fahrstrahl geschlossene Kurve mit Fahrstrahl Die Sektorformel von Leibniz , benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz , berechnet den orientierten Flächeninhalt, den ein Fahrstrahl eines Kurvenabschnitts überstreicht, insbesondere kann man mit ihr Flächeninhalte von Gebieten, die durch eine geschlossene Kurve beschrieben werden, berechnen.
Sei γ : [ a , b ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} mit t ↦ ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))} eine glatte Kurve , dann überstreicht ihr mit dem Ursprung gebildeter Fahrstrahl den orientierten Flächeninhalt F {\displaystyle F} der folgenden Größe:
F ( γ ) = 1 2 ∫ a b ( x ( t ) y ′ ( t ) − y ( t ) x ′ ( t ) ) d t {\displaystyle F(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt} Ist γ {\displaystyle \gamma } eine stückweise glatte Kurve auf [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} und { t 0 , … , t n } {\displaystyle \{t_{0},\ldots ,t_{n}\}} eine Partition von [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , so dass γ {\displaystyle \gamma } auf den Teilintervallen [ t k − 1 , t k ] {\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]} für k = 1 , … n {\displaystyle k=1,\ldots n} glatt ist, so gilt:
F ( γ ) = F ( γ 1 ) + … + F ( γ n ) {\displaystyle F(\gamma )=F(\gamma _{1})+\ldots +F(\gamma _{n})} Hierbei bezeichnet γ k {\displaystyle \gamma _{k}} die auf das Intervall [ t k − 1 , t k ] {\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]} beschränkte Kurve.
Dreieck als stückweise glatte Kurve Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken auffassen. Sind A = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A=(x_{1},y_{1})} , B = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle B=(x_{2},y_{2})} , C = ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle C=(x_{3},y_{3})} die Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks, dann wird dieses durch die folgende stückweise glatte Kurve [ 0 , 3 ] → R 2 {\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} beschrieben:
γ ( t ) := { γ a ( t ) = ( x 1 + ( x 2 − x 1 ) t , y 1 + ( y 2 − y 1 ) t ) falls 0 ≤ t ≤ 1 γ b ( t ) = ( x 2 + ( x 3 − x 2 ) ( t − 1 ) , y 2 + ( y 3 − y 2 ) ( t − 1 ) ) falls 1 ≤ t ≤ 2 γ c ( t ) = ( x 3 + ( x 1 − x 3 ) ( t − 2 ) , y 3 + ( y 1 − y 3 ) ( t − 2 ) ) falls 2 ≤ t ≤ 3 {\displaystyle \gamma (t):={\begin{cases}\gamma _{a}(t)=(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t,\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)&{\text{falls }}0\leq t\leq 1\\\gamma _{b}(t)=(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1),\,y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))&{\text{falls }}1\leq t\leq 2\\\gamma _{c}(t)=(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2),\,y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))&{\text{falls }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}
Dann gilt nun für die Flächenberechnung des Dreiecks:
F ( △ ) = 1 2 | 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 | = 1 2 [ ( x 1 y 2 − y 1 x 2 ) + ( x 2 y 3 − y 2 x 3 ) + ( x 3 y 1 − y 3 x 1 ) ] = 1 2 ∫ 0 1 [ ( x 1 + ( x 2 − x 1 ) t ) ( y 2 − y 1 ) − ( y 1 + ( y 2 − y 1 ) t ) ( x 2 − x 1 ) ] d t + 1 2 ∫ 1 2 [ ( x 2 + ( x 3 − x 2 ) ( t − 1 ) ) ( y 3 − y 2 ) − ( y 2 + ( y 3 − y 2 ) ( t − 1 ) ) ( x 3 − x 2 ) ] d t + 1 2 ∫ 2 3 [ ( x 3 + ( x 1 − x 3 ) ( t − 2 ) ) ( y 1 − y 3 ) − ( y 3 + ( y 1 − y 3 ) ( t − 2 ) ) ( x 1 − x 3 ) ] d t = F ( γ a ) + F ( γ b ) + F ( γ c ) = F ( γ ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}
Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green . Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve γ : [ a , b ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} mit γ ( a ) = γ ( b ) {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)} eingeschlossene Fläche B {\displaystyle B} und zwei differenzierbare Funktionen f , g : R 2 → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } die folgende Gleichung:
∫ B [ g x ( x , y ) − f y ( x , y ) ] d x d y = ∫ a b [ f ( x ( t ) , y ( t ) ) ⋅ x ′ ( t ) + g ( x ( t ) , y ( t ) ) ⋅ y ′ ( t ) ] d t {\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt} Wählt man für die dortigen Funktionen f ( x , y ) = − y {\displaystyle f(x,y)=-y} und g ( x , y ) = x {\displaystyle g(x,y)=x} , so gilt f y ( x , y ) = − 1 {\displaystyle f_{y}(x,y)=-1} und g x ( x , y ) = 1 {\displaystyle g_{x}(x,y)=1} und man erhält:
∫ B ( 1 − ( − 1 ) ) d x d y = ∫ a b [ − y ( t ) ⋅ x ′ ( t ) + x ( t ) ⋅ y ′ ( t ) ] d t ⇔ ∫ B 1 d x d y = 1 2 ∫ a b [ x ( t ) ⋅ y ′ ( t ) − y ( t ) ⋅ x ′ ( t ) ] d t {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}} Da die Integration über eine Fläche mit 1 den Flächeninhalt selbst liefert, gilt:
F ( γ ) = ∫ B 1 d x d y = 1 2 ∫ a b [ x ( t ) ⋅ y ′ ( t ) − y ( t ) ⋅ x ′ ( t ) ] d t {\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt} . Alternative Formel In der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet. Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen x ( t ) {\displaystyle x(t)} und y ( t ) {\displaystyle y(t)} der Parameterkurve γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} eine Funktion r ( t ) {\displaystyle r(t)} , die den Abstand eines Kurvenpunktes vom Zentrum einer sternförmigen Menge B {\displaystyle B} beschreibt. Mit dieser gilt dann:
F ( B ) = 1 2 ∫ a b r ( t ) 2 d t {\displaystyle F(B)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(t)^{2}\ dt} Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flächeninhalt verwendet, ist sie nur für sternförmige Mengen gültig. Ist ( x z , y z ) {\displaystyle (x_{z},y_{z})} ein Zentrum der sternförmigen Menge, so lässt sich r(t) mittels der Beziehung r ( t ) = ( x ( t ) − x z ) 2 + ( y ( t ) − y z ) 2 {\displaystyle r(t)={\sqrt {(x(t)-x_{z})^{2}+(y(t)-y_{z})^{2}}}} aus den Koordinatenfunktionen der Parameterkurve berechnen.
Eine Herzkurve γ : [ 0 , 2 π ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} besitzt die folgende Parameterdarstellung:
x = a cos ( t ) ( 1 + cos ( t ) ) y = a sin ( t ) ( 1 + cos ( t ) ) {\displaystyle x=a\cos(t)(1+\cos(t))\qquad y=a\sin(t)(1+\cos(t))} Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flächeninhalt:
F ( γ ) = 1 2 ∫ 0 2 π [ a cos ( t ) ( 1 + cos ( t ) ) a ( cos ( t ) + 2 cos ( t ) 2 − 1 ) + a sin ( t ) ( 1 + 2 cos ( t ) ) a sin ( t ) ( 1 + cos ( t ) ) ] d t = 1 2 ∫ 0 2 π [ ( 1 + cos ( t ) ) 2 a 2 ] d t = 3 2 a 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}
Herzkurve Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} als Zentrum wählen und erhält dann:
F ( γ ) = 1 2 ∫ 0 2 π [ ( a cos ( t ) ( 1 + cos ( t ) ) ) 2 + ( a sin ( t ) ( 1 + cos ( t ) ) ) 2 ] d t = 1 2 ∫ 0 2 π [ ( 1 + cos ( t ) ) 2 a 2 ( cos ( t ) 2 + sin ( t ) 2 ) ] d t = 1 2 ∫ 0 2 π [ ( 1 + cos ( t ) ) 2 a 2 ] d t = 3 2 a 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}