Spurpunkt

Spurpunkt ist ein Begriff der analytischen und der darstellenden Geometrie, der sich auf Schnittpunkte von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit den Koordinatenebenen bzw. -achsen bezieht.

Als Spurpunkte einer Geraden im dreidimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ werden die Schnittpunkte der Gerade mit den Koordinatenebenen bezeichnet. Der Punkt, an dem die Gerade die x-y-Grundebene mit der Gleichung ${\displaystyle z=0}$ durchdringt, heißt ${\displaystyle S_{xy}}$, analog sind die Spurpunkte ${\displaystyle S_{xz}}$ und ${\displaystyle S_{yz}}$ definiert. Wenn beispielsweise eine Geradengleichung in Parameterform wie folgt gegeben ist^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$,

dann ergibt sich durch Nullsetzen der ${\displaystyle z}$-Komponente: ${\displaystyle \lambda =-2}$. Der Ortsvektor des Spurpunktes wird durch Einsetzen von ${\displaystyle \lambda }$ in die Parameterdarstellung bestimmt: ${\displaystyle {\vec {s}}_{xy}={\begin{pmatrix}-5\\-4\\0\end{pmatrix}}}$. Der Spurpunkt besitzt somit die Koordinaten ${\displaystyle S_{xy}=P(-5\mid -4\mid 0)}$.

Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunkt mit einer Koordinatenebene ist, dass die Gerade nicht parallel zu dieser Ebene verlaufen darf.^[2]

Die Spurpunkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.^[3] Ihre Bezeichnung erfolgt nach der Koordinatenachse, die jeweils durchschnitten wird. Die Berechnung kann aus Achsenabschnittsform oder der Koordinatenform einer Ebenengleichung erfolgen.

Ist beispielsweise die Ebene wie folgt in Koordinatenform gegeben: ${\displaystyle 6x+4y-3z=12}$, so ergibt sich durch Nullsetzen der ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Komponente: ${\displaystyle x=2}$. Der Spurpunkt hat somit die Koordinaten ${\displaystyle S_{x}=P(2\mid 0\mid 0)}$. Entsprechend können die beiden weiteren Spurpunkte bestimmt werden.^[4]

Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunktes mit einer der Koordinatenachsen ist, dass sie nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen verlaufen darf.^[5]

• Spurgerade
• Spurdreieck

Wikibooks: Darstellung von Spurpunkten mit Beispielen – Lern- und Lehrmaterialien

• Spurpunkte: Aufgaben mit Lösungshinweisen. (PDF) In: Niedersächsischer Bildungsserver. Abgerufen am 27. Februar 2022.  Archivlink

1. ↑ Heinz Rapp: Mathematik für die Fachschule Technik: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung. Springer Verlag, Heidelberg/Berlin 2010, ISBN 978-3-8348-0914-8, S. 451 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
2. ↑ Institut Computational Mathematics der Technischen Universität Braunschweig: Spurpunkte und Fluchtpunkte. (PDF) In: Darstellende Geometrie für Architekten und Bauingenieure. Skript und Präsenzübungen. WS 2010/11. S. 10, abgerufen am 20. August 2016. 
3. ↑ Jörg Stark: Training Intensiv Mathematik: Analytische Geometrie und Lineare Algebra mit Lern-Videos online. Pons-Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-12-949193-5, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
4. ↑ Heinz Griesel u. a.: Elemente der Mathematik. Qualifikationsphase Technik. Schroedel Verlag, Braunschweig 2013, ISBN 978-3-507-87034-5, S. 267. 
5. ↑ Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Springer Verlag, Heidelberg/Berlin 2011, ISBN 978-3-8348-1986-4, S. 199 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).