Thomsonsche Schwingungsgleichung

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{0}}$ eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

${\displaystyle T={\frac {1}{f_{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}}$

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand ${\displaystyle X_{C}}$ des Kondensators und der induktive Widerstand ${\displaystyle X_{L}}$ der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

${\displaystyle X_{L}+X_{C}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \omega _{0}L-{\frac {1}{\omega _{0}C}}=0}$

${\displaystyle \omega _{0}L={\frac {1}{\omega _{0}C}}}$

${\displaystyle 2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}}}$, da gilt ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$, üblich ist auch die Form: ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

${\displaystyle \!\,E_{\mathrm {mag} }(t)+E_{\rm {el}}(t)=E_{\rm {Gesamt}}}$

${\displaystyle E_{\mathrm {mag} }}$: magnetische Feldenergie der Spule

${\displaystyle E_{\mathrm {el} }}$: elektrische Feldenergie des Kondensators

${\displaystyle E_{\mathrm {Gesamt} }}$: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}LI^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }}$

Aus

${\displaystyle I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}={\dot {Q}}(t)}$

folgt:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} }}$

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

${\displaystyle L{\dot {Q}}{\ddot {Q}}(t)+{\frac {1}{C}}Q{\dot {Q}}(t)=0}$

${\displaystyle I(t)\left(L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)\right)=0}$

${\displaystyle L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)=0}$, da im Schwingkreis gilt: ${\displaystyle I(t)\neq 0}$.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen ${\displaystyle Q(t)}$ und ${\displaystyle {\ddot {Q}}(t)}$ herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

${\displaystyle Q(t)={\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle {\dot {Q}}(t)=\omega {\hat {Q}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle {\ddot {Q}}(t)=-\omega ^{2}{\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}\cdot Q(t)}$

${\displaystyle {\hat {Q}}}$: maximale Ladung (Amplitude)

${\displaystyle \omega }$: Kreisfrequenz

${\displaystyle \varphi }$: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {1}{C}}Q(t)-\omega ^{2}LQ(t)=0}$

${\displaystyle Q(t)\left({\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L=0}$, da im Schwingkreis gilt: ${\displaystyle Q(t)\neq 0}$

Daraus folgt mit ${\displaystyle \omega =2\pi f}$:

${\displaystyle {\frac {1}{C}}-4\pi ^{2}f_{0}^{2}L=0}$

${\displaystyle {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von ${\displaystyle \left\vert X_{L}\right\vert =\left\vert X_{C}\right\vert }$, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand R_L von L berechnet werden:

${\displaystyle \omega _{D}=\omega _{0}{\sqrt {1-R_{L}^{2}{\frac {C}{L}}}}}$

• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4. 

• Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft (LEIFI)