Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen , auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen , die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen .
Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:
( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 x d y d x + ( ℓ ( ℓ + 1 ) − m 2 1 − x 2 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0} Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ℓ {\displaystyle \ell \,} m {\displaystyle m\,} 0 ≤ m ≤ ℓ {\displaystyle 0\leq m\leq \ell }
Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential . Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms .
Die zugeordneten Legendrepolynome für m =0 sind die gewöhnlichen Legendrepolynome. Zugeordnete Legendrepolynome für m =1 Zugeordnete Legendrepolynome für m =2 Zugeordnete Legendrepolynome für m =3 Die zugeordneten Legendrepolynome werden als P ℓ ( m ) ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)} Legendrepolynomen definieren:
P ℓ ( m ) ( x ) = ( − 1 ) m ( 1 − x 2 ) m / 2 d m d x m P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}P_{\ell }(x)} wobei P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }(x)} ℓ {\displaystyle \ell }
P ℓ ( x ) = 1 2 ℓ ℓ ! d ℓ d x ℓ ( x 2 − 1 ) ℓ {\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{\ell }}{\mathrm {d} x^{\ell }}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell }} Daraus ergibt sich
P ℓ ( m ) ( x ) = ( − 1 ) m 2 ℓ ℓ ! ( 1 − x 2 ) m / 2 d ℓ + m d x ℓ + m ( x 2 − 1 ) ℓ . {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\,\ell !}}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{\ell +m}}{\mathrm {d} x^{\ell +m}}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell }.} Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für m = 0 {\displaystyle m=0} P ℓ ( 0 ) ( x ) = P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{(0)}(x)=P_{\ell }(x)}
Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall I = [ − 1 , 1 ] {\displaystyle I=[-1,1]}
∫ − 1 + 1 P ℓ ( m ) ( x ) P k ( m ) ( x ) d x = 2 2 ℓ + 1 ( ℓ + m ) ! ( ℓ − m ) ! δ ℓ k . {\displaystyle \int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{k}^{(m)}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{2\,\ell +1}}\,{\frac {(\ell +m)!}{(\ell -m)!}}\,\delta _{\ell k}.} ∫ − 1 + 1 P ℓ ( m ) ( x ) P ℓ ( n ) ( x ) ⋅ 1 1 − x 2 d x = ( ℓ + m ) ! m ( ℓ − m ) ! δ m n . {\displaystyle \int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{\ell }^{(n)}(x)\cdot {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}\,\delta _{mn}.} Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder m {\displaystyle m} n {\displaystyle n}
Am wichtigsten ist der Fall x = cos ϑ {\displaystyle x=\cos \vartheta }
d 2 y d ϑ 2 + cos ϑ sin ϑ d y d ϑ + [ ℓ ( ℓ + 1 ) − m 2 sin 2 ϑ ] y = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \vartheta }}+\left[\ell \,(\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}\right]y=0.} Da nach der Substitutionsregel
∫ 0 π f ( cos ϑ ) sin ϑ d ϑ = ∫ − 1 1 f ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\cos \vartheta )\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta =\int _{-1}^{1}f(x)\mathrm {d} x} gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.
Über P ℓ ( m ) ( cos ϑ ) {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )} Kugelflächenfunktionen definiert als
Y ℓ ( m ) ( φ , ϑ ) = 2 ℓ + 1 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ ( m ) ( cos ϑ ) e i m φ , {\displaystyle Y_{\ell }^{(m)}(\varphi ,\vartheta )={\sqrt {{\frac {2\,\ell +1}{4\,\pi }}\,{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )\,\mathrm {e} ^{i\,m\,\varphi },} welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.
Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel
( ℓ − m ) P ℓ ( m ) ( x ) = x ( 2 ℓ − 1 ) P ℓ − 1 ( m ) ( x ) − ( ℓ + m − 1 ) P ℓ − 2 ( m ) ( x ) . {\displaystyle (\ell -m)\,P_{\ell }^{(m)}(x)=x\,(2\,\ell -1)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x)-(\ell +m-1)\,P_{\ell -2}^{(m)}(x).} Die zugehörigen Startwerte der Rekursionsformel stellen sie wie folgt dar:
P m ( m ) ( x ) = ( − 1 ) m ⋅ ( 2 m ) ! 2 m m ! ⋅ ( 1 − x 2 ) m / 2 , P k m ( x ) = 0 , ∀ k < m {\displaystyle P_{m}^{(m)}(x)=(-1)^{m}\cdot {\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}\cdot \left(1-x^{2}\right)^{m/2}\quad ,\quad P_{k}^{m}(x)=0\;,\quad \forall k<m} Die Relation zwischen den assoziierten Legendre-Polynomen mit positiven und negativen m {\displaystyle m}
P ℓ ( − m ) = ( − 1 ) m ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! ⋅ P ℓ ( m ) {\displaystyle P_{\ell }^{(-m)}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\cdot P_{\ell }^{(m)}} Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu
P ℓ ( m ) ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)} ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} ℓ = 2 {\displaystyle \ell =2} m = − 2 {\displaystyle m=-2} 1 / 8 ( 1 − x 2 ) {\displaystyle 1/8(1-x^{2})} m = − 1 {\displaystyle m=-1} 1 / 2 1 − x 2 {\displaystyle 1/2{\sqrt {1-x^{2}}}} 1 / 2 x 1 − x 2 {\displaystyle 1/2x{\sqrt {1-x^{2}}}} m = 0 {\displaystyle m=0} 1 {\displaystyle 1} x {\displaystyle x} 1 / 2 ( 3 x 2 − 1 ) {\displaystyle 1/2(3x^{2}-1)} m = 1 {\displaystyle m=1} − 1 − x 2 {\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}} − 3 x 1 − x 2 {\displaystyle -3x{\sqrt {1-x^{2}}}} m = 2 {\displaystyle m=2} 3 ( 1 − x 2 ) {\displaystyle 3(1-x^{2})}
Und mit cos ϑ {\displaystyle \cos \vartheta }
P ℓ ( m ) ( cos ϑ ) {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )} ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} ℓ = 2 {\displaystyle \ell =2} m = − 2 {\displaystyle m=-2} 1 / 8 sin 2 ϑ {\displaystyle 1/8\sin ^{2}\vartheta } m = − 1 {\displaystyle m=-1} 1 / 2 sin ϑ {\displaystyle 1/2\sin \vartheta } 1 / 2 sin ϑ cos ϑ {\displaystyle 1/2\sin \vartheta \cos \vartheta } m = 0 {\displaystyle m=0} 1 {\displaystyle 1} cos ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } 1 / 2 ( 3 cos 2 ϑ − 1 ) {\displaystyle 1/2(3\cos ^{2}\vartheta -1)} m = 1 {\displaystyle m=1} − sin ϑ {\displaystyle -\sin \vartheta } − 3 sin ϑ cos ϑ {\displaystyle -3\sin \vartheta \cos \vartheta } m = 2 {\displaystyle m=2} 3 sin 2 ϑ {\displaystyle 3\sin ^{2}\vartheta }
Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome P ℓ ( m ) ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)} Q ℓ ( m ) ( x ) {\displaystyle Q_{\ell }^{(m)}(x)} Q ℓ ( 0 ) = Q ℓ {\displaystyle Q_{\ell }^{(0)}=Q_{\ell }} Q ℓ ( x ) {\displaystyle Q_{\ell }(x)}
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![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle I=[-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edb704e6cad4f0d3828511af70f70be8861ccab)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \vartheta }}+\left[\ell \,(\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}\right]y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2f3c8951a56bb94fc5060b6a56d6c010bd6470)
