Προβολική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η προβολική γεωμετρία είναι ο τομέας της γεωμετρίας που μοντελοποιεί τις διαισθητικές έννοιες της προοπτικής και του ορίζοντα^[1]. Μελετά τις αναλλοίωτες ιδιότητες των σχημάτων με κεντρική προβολή.

Ο μαθηματικός και αρχιτέκτονας Ζιράρ Ντεζάργκ θεμελίωσε την προβολική γεωμετρία στο έργο του Brouillon Projet d'une atteinte aux événements des rencontres du Cône avec un Plan^[2], που δημοσιεύτηκε το 1639, όπου τη χρησιμοποίησε για μια ενοποιημένη θεωρία των κωνικών. Ωστόσο, οι προβολικές έννοιες βρίσκονται ήδη στα έργα του Πάππου της Αλεξάνδρειας (4ος αιώνας), ο οποίος εισήγαγε τον αναμονικό λόγο και αναφέρθηκε στον Απολλώνιο της Πέργης. Το έργο του Ντεσάργκες γνώρισε μικρή επιτυχία στην εποχή του και ξεχάστηκε μέχρι που το ανακάλυψε εκ νέου ο εκδότης και βιβλιόφιλος "Πούδρα" στα μέσα του 19ου αιώνα. Οι σύγχρονοί του δεν κατανόησαν το βάθος του έργου του, με εξαίρεση τον νεαρό Μπλεζ Πασκάλ^[3], ο οποίος το συνέχισε, καταδεικνύοντας ειδικότερα ένα θεώρημα κοντά σε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα του Πασκάλ2.

Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, ο Πονσελέ επαναπροσδιόρισε την προβολική γεωμετρία, σίγουρα επηρεασμένος από την παραστατική γεωμετρία που δίδασκε ο δάσκαλός του στην Πολυτεχνική Σχολή, Γκασπάρ Μονζέ. Το 1822 δημοσίευσε το Traité des propriétés géométriques des figures (Πραγματεία περί των γεωμετρικών ιδιοτήτων των σχημάτων). Ανεξάρτητα, ένας άλλος μαθητής του Μονζέ, ο Ζοζέφ Ζεργκόν, ανακάλυψε επίσης ορισμένες από τις αρχές της προβολικής γεωμετρίας την ίδια εποχή^[4]. Με διαφορετικούς τρόπους, ο Πονσελέ και ο Ζεργκόν ανέδειξαν την αρχή της δυαδικότητας, η οποία είναι ειδική για την προβολική γεωμετρία, όπου, για παράδειγμα, δύο διαφορετικές ευθείες στο επίπεδο είναι πάντα δευτερεύουσες, όπως ακριβώς μια ευθεία περνάει πάντα από δύο διαφορετικά σημεία.

Το 1827, ο Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους εισήγαγε τις ομογενείς συντεταγμένες, καθιστώντας δυνατή την εφαρμογή των μεθόδων της αναλυτικής γεωμετρίας στην προβολική γεωμετρία, έργο στο οποίο αφιερώθηκε και ο Ιούλιος Πλούκερ^[5]. Παράλληλα, ο Γιάκομπ Στάινερ ανέπτυξε την προσέγγιση της συνθετικής γεωμετρίας.

Αλλά ήταν ο Φέλιξ Κλάιν που, στα τέλη του 19ου αιώνα, διευκρίνισε τη σχέση μεταξύ της προβολικής γεωμετρίας και της ευκλείδειας γεωμετρίας και έδειξε πώς οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες μπορούν επίσης να αναχθούν στην προβολική γεωμετρία. Υπό την επίδραση του προγράμματός του στο Ερλάνγκεν, έλαβε χώρα μια σημαντική εννοιολογική εξέλιξη: ενώ μέχρι τότε η γεωμετρία ήταν η επιστήμη των σχημάτων, έγινε η μελέτη των μετασχηματισμών των σχημάτων: οι γεωμέτρες στο γύρισμα του αιώνα επικεντρώθηκαν στο εξής στη σύνθεση των μετασχηματισμών, στη δομή ορισμένων ομάδων μετασχηματισμών, στις αναλλοίωτες της τάδε οικογένειας μετασχηματισμών και στα ελάχιστα αξιώματα που επιτρέπουν αυτές τις ιδιότητες των μετασχηματισμών.

Σήμερα, ορισμένες στοιχειώδεις έννοιες της προβολικής γεωμετρίας χρησιμοποιούνται στην όραση υπολογιστών και σε συστήματα απόδοσης γραφικών, όπως η OpenGL.

Σε μια προσέγγιση που προέρχεται από το πρόγραμμα του Ερλάνγκεν, η προβολική γεωμετρία διαφέρει από τη συνηθισμένη ευκλείδεια γεωμετρία στο ότι ασχολείται μόνο με τη μελέτη όσων, στα σχήματα, παραμένουν αμετάβλητα μετά την προβολή, ενώ η ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μελέτη όσων παραμένουν αμετάβλητα μετά τη μετατόπιση (μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως η επιστήμη των σχημάτων που σχεδιάζονται με χάρακα και πυξίδα), Υπό αυτό το πρίσμα, η προβολική γεωμετρία έχει λιγότερα αξιώματα από την ευκλείδεια γεωμετρία και επομένως είναι πιο γενική.

Η προβολική γεωμετρία αγνοεί τις παράλληλες γραμμές, τις κάθετες γραμμές, τις ισομετρίες, τους κύκλους, τα ορθογώνια τρίγωνα, τα ισοσκελή τρίγωνα, τα ισόπλευρα τρίγωνα κ.λπ. μπορεί επίσης να ειπωθεί, για παράδειγμα, ότι για την προβολική γεωμετρία οι κύκλοι, οι ελλείψεις και οι υπερβολές αποτελούν ένα ενιαίο σχήμα.

Χρησιμοποιώντας ορισμένες γλωσσικές συμβάσεις ( παραδείγματος χάριν, ονομάζοντας παράλληλες δύο γραμμές που τέμνονται σε μια επιλεγμένη ευθεία στο επίπεδο), είναι δυνατόν να ανακτήσουμε τα αποτελέσματα της αφινικής γεωμετρίας από εκείνα της προβολικής γεωμετρίας (βλ. παρακάτω), και εισάγοντας μιγαδικούς αριθμούς, είναι επίσης δυνατόν να ανακτήσουμε εκείνα της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Διάφορα συστήματα αξιωμάτων έχουν διατυπωθεί για τη θεμελίωση της προβολικής γεωμετρίας, κυρίως από τους Ενρίκε, Κοξέτερ και Ροσιέ, με μικρές μόνο διαφορές. Τα θεμελιώδη στοιχεία είναι τα σημεία. Οι γραμμές και τα επίπεδα είναι ορισμένα σύνολα σημείων. Υπάρχει μια τριμερής σχέση, γνωστή ως κυκλική σειρά, μεταξύ σημείων που ανήκουν στην ίδια ευθεία ή μεταξύ επιπέδων που διέρχονται από την ίδια ευθεία ή μεταξύ ευθειών που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Αξίωμα Ι1^[6]:' Υπάρχει τουλάχιστον μία ευθεία και ένα σημείο που δεν ανήκει στην ευθεία αυτή.

Αξίωμα Ι2^[6]: Σε κάθε ευθεία ανήκουν τουλάχιστον τρία σημεία.

Αξίωμα Ι3^[6]: Δεδομένων δύο διαφορετικών σημείων, υπάρχει μία και μόνο μία ευθεία στην οποία ανήκουν τα δύο αυτά σημεία.

Αξίωμα Ι4^[6]: Αν τα A B C και D είναι τέσσερα διακριτά σημεία έτσι ώστε οι ευθείες AB και CD να περιέχουν ένα κοινό σημείο, τότε οι ευθείες AC και BD περιέχουν ένα κοινό σημείο.

Ορισμός: Έχοντας τρία μη ευθυγραμμισμένα σημεία A B και C, το σύνολο των σημείων που ανήκουν σε μια ευθεία που περιέχει το σημείο C και περιέχει ένα κοινό σημείο με την ευθεία ΑΒ ονομάζεται επίπεδο ΑΒC.

Αξίωμα Ι5^[6]: Για κάθε επίπεδο ABC, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο που δεν ανήκει στο επίπεδο ABC.

Αξίωμα Ι6^[6]:' Οποιαδήποτε δύο διαφορετικά επίπεδα περιέχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά κοινά σημεία.

Ορισμός: Με το όνομα μορφή πρώτου είδους ομαδοποιούνται τα ακόλουθα: - ένα σύνολο όλων των σημείων που ανήκουν στην ίδια ευθεία, που ονομάζεται σημειακή ευθεία, - ένα σύνολο όλων των επιπέδων που περιέχουν την ίδια ευθεία, που ονομάζεται δέσμη επιπέδων, - ένα σύνολο όλων των ευθειών που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και διέρχονται από το ίδιο σημείο του επιπέδου αυτού, που ονομάζεται δέσμη ευθειών.

Αξίωμα Ο1 ^[7]: Για κάθε μορφή πρώτου είδους υπάρχουν δύο αντίστροφες τριμερείς σχέσεις τέτοιες ώστε, ανεξάρτητα από τα στοιχεία A, B και C, η τριπλέτα (A, B, C) να ικανοποιεί μία και μόνο μία από τις δύο αυτές σχέσεις, γνωστή ως τάξη ABC.

Αξίωμα Ο2: όποια και αν είναι τα τρία στοιχεία A, B και C της μορφής, η τάξη ABC είναι σχέση κυκλικής τάξης, δηλαδή ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

${\displaystyle R(A,B,C)\Rightarrow R(C,A,B)}$

${\displaystyle R(A,B,C)\Rightarrow {\text{όχι}}\;R(A,C,B)}$

${\displaystyle R(A,B,C)\;{\text{και}}\;R(A,C,D)\Rightarrow R(B,C,D)}$

Αξίωμα O3: Όποια και αν είναι τα στοιχεία A και B μιας μορφής πρώτου είδους, υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο C της μορφής τέτοιο ώστε R(A,C,B).

Ορισμοί: Τα ζεύγη των στοιχείων ΑΒ και CD μιας μορφής πρώτου είδους είναι ξεχωριστά ζεύγη εάν οι τάξεις ΑΒC και ADB είναι ίδιες.

Το τμήμα μιας δέσμης ευθειών με κορυφή Ο μέσω μιας ευθείας είναι η αντιστοιχία που συνδέει οποιαδήποτε ευθεία της δέσμης με την τομή της με την ευθεία. Η αντίστροφη αντιστοιχία μεταξύ της σημειακής ευθείας και της δέσμης ονομάζεται προβολή της σημειακής ευθείας από το σημείο Ο.

Η τομή μιας δέσμης επιπέδων ακμής D από μια ευθεία είναι η αντιστοιχία που συσχετίζει οποιοδήποτε επίπεδο της δέσμης με την τομή του με την ευθεία. Η αντίστροφη αντιστοιχία μεταξύ της σημειακής ευθείας και της δέσμης ονομάζεται προβολή της σημειακής ευθείας από την ευθεία D.

Λαμβάνοντας υπό όψιν τρία στοιχεία A B και C, ονομάζουμε τμήμα AB έξω από το C το σύνολο των στοιχείων M έτσι ώστε τα ζεύγη AB και CM να διαχωρίζονται.

Αξίωμα Ο4 ^[8]: Η προβολή και το τμήμα διατηρούν τα διαχωρισμένα ζεύγη.

Ορισμός: Ένα στοιχείο M ενός τμήματος AB λέγεται ότι προηγείται ενός στοιχείου N αυτού του τμήματος ή ότι το N ακολουθεί το M, εάν τα ζεύγη AN και MB είναι χωριστά.

Αξίωμα C1^[9]: Αν τα στοιχεία ενός τμήματος ΑΒ χωρίζονται σε δύο κλάσεις έτσι ώστε :

• κάθε στοιχείο του τμήματος ΑΒ ανήκει στη μία ή στην άλλη από τις δύο κλάσεις,
• το στοιχείο Α ανήκει στην πρώτη κλάση και το Β ανήκει στη δεύτερη,
• οποιοδήποτε στοιχείο της πρώτης κλάσης προηγείται οποιουδήποτε στοιχείου της δεύτερης κλάσης,

Τότε υπάρχει ένα στοιχείο C του τμήματος ΑΒ (που ανήκει στην πρώτη ή στη δεύτερη τάξη), έτσι ώστε κάθε στοιχείο που προηγείται του C να ανήκει στην πρώτη τάξη και κάθε στοιχείο που ακολουθεί το C να ανήκει στη δεύτερη τάξη.

Ο προβολικός χώρος ορίζεται στην άλγεβρα ως το σύνολο των διανυσματικών γραμμών ενός διανυσματικού χώρου. Φανταστείτε το μάτι ενός παρατηρητή τοποθετημένο στην αρχή ενός διανυσματικού χώρου και κάθε στοιχείο του προβολικού χώρου αντιστοιχεί σε μια κατεύθυνση του βλέμματός του.

Ένας προβολικός χώρος διαφέρει από έναν διανυσματικό χώρο στο ότι είναι ομοιογενής: δεν μπορεί να διακριθεί σε αυτόν κανένα συγκεκριμένο σημείο όπως η αρχή ενός διανυσματικού χώρου. Από αυτή την άποψη, είναι παρόμοιος με έναν συγγενή χώρο.

Έστω ${\displaystyle E\,\!}$ ένας Κ-διανυσματικός χώρος (Κ είναι ένα πεδίο, συνήθως ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$, που δεν ανάγεται σε ${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$), δεν μειώνεται στο ${\displaystyle \{0\}}$. Ορίζουμε στο ${\displaystyle E-\{0\}\,\!}$ την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K^{*},x=\lambda y\,\!}$.

Τότε ονομάζουμε προβολικό χώρο στο ${\displaystyle E\,\!}$ το πηλίκο του ${\displaystyle E-\{0\}\,\!}$ από τη σχέση ισοδυναμίας ${\displaystyle \sim \,\!}$ : ${\displaystyle P(E)=(E-\{0\})/\sim \,\!}$.

Για κάθε στοιχείο ${\displaystyle x\neq 0\,\!}$ του ${\displaystyle E\,\!}$ σημειώνουμε ${\displaystyle \pi (x)\in P(E)\,\!}$ την κλάση ισοδυναμίας του: ${\displaystyle pi(x)=\{\lambda x,\lambda \in K^{*}\}\,\!}$. Επομένως έχουμε: ${\displaystyle \pi (x)=\pi (y)\,\!}$ αν και μόνο αν ${\displaystyle x\,\!}$ και ${\displaystyle y\,\!}$ είναι κολλητές.

Η εφαρμογή ${\displaystyle \pi :E-\{0\}\rightarrow P(E)\,\!}$ ονομάζεται κανονική προβολή.

Πιο απλά, ο προβολικός χώρος ${\displaystyle P(E)\,\!}$ είναι το σύνολο των διανυσματικών γραμμών του${\displaystyle E\,\!}$; το στοιχείο ${\displaystyle \pi (x)\,\!}$ του προβολικού χώρου είναι η διανυσματική γραμμή του ${\displaystyle E\,\!}$ της οποίας το Μοναδιαίο διάνυσμα είναι ${\displaystyle x\,\!}$.

Αν ${\displaystyle E\,\!}$ είναι πεπερασμένης διάστασης ${\displaystyle n\,\!}$ τότε λέμε ότι ${\displaystyle P(E)\,\!}$ είναι πεπερασμένης διάστασης και συμβολίζουμε ${\displaystyle n-1=\mathrm {dim} \,P(E)\,\!}$ τη διάσταση του προβολικού χώρου. Ειδικότερα:

• Αν n=1 τότε ${\displaystyle P(E)\,\!}$ είναι μονόχωρος (μηδενική διάσταση) ,
• Αν n=2 τότε το ${\displaystyle E\,\!}$ είναι διανυσματικό επίπεδο και το ${\displaystyle P(E)\,\!}$ ονομάζεται προβολική γραμμή.
• Αν n=3 τότε το ${\displaystyle P(E)\,\!}$ ονομάζεται προβολικό επίπεδο - αυτό είναι το πιο συνηθισμένο περιβάλλον για την εκτέλεση γεωμετρίας.

Αν ο χώρος ${\displaystyle E\,\!}$ είναι ο "τυπικός" διανυσματικός χώρος διάστασης ${\displaystyle n\,\!}$, δηλαδή ${\displaystyle K^{n}\,\!}$ τότε έχουμε έναν ειδικό συμβολισμό για τον προβολικό χώρο: ${\displaystyle P^{n-1}(K)\,\!}$ αντί για ${\displaystyle P(K^{n})\,\!}$.

Η τυπική πτυχή του διανυσματικού ορισμού δεν πρέπει να επισκιάζει το γεγονός ότι η έννοια του προβολικού χώρου γεννήθηκε από την κεντρική προβολή και είναι, πάνω απ' όλα, μια γεωμετρική έννοια. Για να πάρουμε το παράδειγμα του προβολικού χώρου του ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, μπορούμε να παρατηρήσουμε το διπλανό σχέδιο όπου τα σημεία ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ και ${\displaystyle r}$ ανήκουν στο affine επίπεδο ${\displaystyle (P')}$ (που δεν διέρχεται από την αρχή). Φανταστείτε έναν παρατηρητή τοποθετημένο στο ${\displaystyle O}$. Αυτός ο παρατηρητής βλέπει όλα τα σημεία της ευθείας ${\displaystyle (OM)}$ στο ${\displaystyle m}$, αυτά της ευθείας ${\displaystyle (OR)}$ στο ${\displaystyle r}$ και αυτά της ευθείας ${\displaystyle (ON)}$ στο ${\displaystyle n}$. Οι ευθείες ${\displaystyle (d)}$ του επιπέδου ${\displaystyle (P)}$ δεν φαίνονται ως σημεία του ${\displaystyle (P')}$. Επομένως, υπάρχει μια διχοτόμηση μεταξύ των διανυσματικών ευθειών του ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ που δεν είναι παράλληλες με την ${\displaystyle (P)}$ και των σημείων του επιπέδου ${\displaystyle (P')}$.

Ο προβολικός χώρος του ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ βρίσκεται επομένως σε διχοτόμηση με ένα αφινικό επίπεδο ${\displaystyle (P')}$ που δεν διέρχεται από την αρχή στο οποίο προσθέτουμε το σύνολο των διανυσματικών ευθειών διεύθυνσης ${\displaystyle (P)}$ του ${\displaystyle (P')}$. Μπορούμε επομένως να δούμε ένα προβολικό επίπεδο ${\displaystyle {\tilde {P'}}}$ ως αποτελούμενο από ένα affine επίπεδο ${\displaystyle (P')}$ στο οποίο προσθέτουμε την προβολική γραμμή της οποίας τα στοιχεία είναι όλες οι διανυσματικές γραμμές (ή κατευθύνσεις) του ${\displaystyle (P)}$, αναφερόμενη σε αυτό το πλαίσιο ως γραμμή στο άπειρο. Κάθε σημείο της ευθείας στο άπειρο ονομάζεται τότε σημείο στο άπειρο ή ακατάλληλο σημείο (τα σημεία της ${\displaystyle (P')}$ είναι τα ιδιοπερίοδοι). Η έννοια αυτή καθιστά δυνατή, για παράδειγμα, τη συζήτηση για την τομή μεταξύ δύο οποιωνδήποτε ευθειών σε ένα επίπεδο: οι ευθείες θα είναι τέμνουσες σε ένα ιδιοπερίοδο της ${\displaystyle (P')}$ ή σε ένα ακατάλληλο σημείο στην περίπτωση που οι ευθείες είναι παράλληλες. Σε ένα προβολικό επίπεδο, οποιαδήποτε γραμμή μπορεί να επιλεγεί ως γραμμή στο άπειρο, και αυτό επάγει στο συμπληρωματικό μια δομή affine επίπεδο. Αντίστροφα, οποιοδήποτε αφινικό επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί ως ένα μη διανυσματικό αφινικό επίπεδο ενός διανυσματικού χώρου διάστασης 3, και έτσι να συμπληρωθεί σε ένα προβολικό επίπεδο.

Η έννοια αυτή γενικεύεται σε κάθε προβολικό χώρο ${\displaystyle {\tilde {P}}}$ διάστασης ${\displaystyle n}$: πρόκειται για έναν affine χώρο ${\displaystyle (P)}$ διάστασης ${\displaystyle n}$ στον οποίο προσθέτουμε το σύνολο των κατευθύνσεων του ${\displaystyle (P)}$.

Συγκεκριμένα, αν ${\displaystyle (P)}$ = ${\displaystyle K}$, η σχετική προβολική γραμμή είναι το σύνολο ${\displaystyle {\tilde {K}}=K\cup \{\infty \}\,\!}$ όπου ${\displaystyle \infty }$ είναι ένα σημείο εκτός ${\displaystyle K\,\!}$, επεκτείνοντας τις αλγεβρικές πράξεις ως εξής:

• για κάθε ${\displaystyle x}$ του ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle x/\infty =0}$
• για κάθε ${\displaystyle x}$ της ${\displaystyle K^{*}}$, ${\displaystyle x/0=\infty }$

Αυτή η διπλή σχέση, από τη μία μεριά με ένα διανυσματικό χώρο και από την άλλη με έναν ολοκληρωμένο affine χώρο, είναι αυτό που κάνει τη μελέτη της προβολικής γεωμετρίας τόσο πλούσια. Παρομοίως, θα είναι σημαντικό να διατηρηθεί αυτή η διπλή πτυχή όταν πρόκειται να αποδοθούν συντεταγμένες σε σημεία στον προβολικό χώρο.

Αν ο E είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στον ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ή ${\displaystyle \mathbb {C} }$ πεπερασμένης διάστασης, μπορούμε να ορίσουμε στον E μια τοπολογία που προκύπτει από την απόσταση που επάγεται από τη νόρμα ${\displaystyle ||x||={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+....+x_{n}^{2}}}}$ στην πραγματική περίπτωση και ${\displaystyle ||x|||={\sqrt {x_{1}{\overline {x_{1}}}+x_{2}{\overline {x_{2}}}+....+x_{n}{\overline {x_{n}}}}}}$ στην μιγαδική περίπτωση.

Αυτή η τοπολογία καθιστά δυνατό να ορίσουμε στον πηλίκο χώρο ${\displaystyle P(E)=E-{0}/\sim }$ μια τοπολογία, γνωστή ως τοπολογία πηλίκου. Αν <${\displaystyle p:E\setminus \{0\}\rightarrow P(E)}$ συμβολίζει την εφαρμογή πηλίκο-πέρασμα, θα λέμε ότι ένα τμήμα ${\displaystyle A\subset P(E)\,}$ είναι ανοικτό αν η αντίστροφη εικόνα του ${\displaystyle p^{-1}(A)\,}$ είναι ανοικτή στο ${\displaystyle E\setminus \{0\}\,}$. Ελέγχουμε ότι ορίζουμε έναν τοπολογικό χώρο με αυτόν τον τρόπο.

Μπορούμε να δείξουμε ότι ο ${\displaystyle P(E)\,}$ είναι συμπαγής χώρο.

Επομένως, θα εξοπλίσουμε τον προβολικό χώρο P(E) από αυτή την τοπολογία. Μας επιτρέπει να μιλάμε για ομοιομορφισμούς και να παρατηρούμε, για παράδειγμα, ότι η πραγματική προβολική γραμμή είναι ομοιομορφική με έναν κύκλο, ενώ η μιγαδική προβολική γραμμή είναι ομοιομορφική με μια σφαίρα.

Αν ο E είναι ένας K-διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης n, ο δυϊκός του E* είναι επίσης ένας K-διανυσματικός χώρος διάστασης n. Ο προβολικός χώρος P(E) μπορεί επομένως να συσχετιστεί με τον δυϊκό του P(E*). Μια γραμμή στον P(E*) αντιστοιχεί σε μια δέσμη υπερεπιπέδων στον P(E). Ένας μεγάλος αριθμός γεωμετρικών ιδιοτήτων μπορεί να αντιστραφεί με τη μετάβαση στο δυϊκό.

• Projective Geometry for Machine Vision — tutorial by Joe Mundy and Andrew Zisserman.
• Notes based on Coxeter's The Real Projective Plane.
• Projective Geometry for Image Analysis — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs.
• Projective Geometry. — free tutorial by Tom Davis.
• The Grassmann method in projective geometry A compilation of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of exterior algebra to projective geometry
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book)
• E. Kummer, "General theory of rectilinear ray systems" (English translation)
• M. Pasch, "On the focal surfaces of ray systems and the singularity surfaces of complexes" (English translation)