Gammafunktsioon

Gammafunktsioon ehk Euleri gammafunktsioon ehk teist liiki Euleri integraal ${\displaystyle \Gamma }$ on üks erifunktsioon matemaatilises analüüsis ja kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. Gammafunktsiooni võib positiivse reaalarvu ${\displaystyle x}$ jaoks defineerida integraalina

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}{\mathrm {e} }^{-t}dt}$.

See on transtsendentne analüütiline funktsioon ja rahuldab funktsionaalvõrrandit

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x),}$

mida saab näidata ositi integreerimise abil.

Et ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, siis järeldub sellest kõigi positiivsete täisarvude ${\displaystyle n}$ korral

${\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!\,,}$

seega interpoleerib ${\displaystyle \Gamma }$ üht faktoriaali rööplüket.

Gammafunktsiooni saab üheselt jätkata meromorfseks funktsiooniks Gaussi tasandile ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Seal ei ole tal nullkohti ega mittepositiivsetel täisarvudel lihtsaid poolusi, seega on ${\displaystyle 1/\Gamma }$ täisfunktsioon.

Gammafunktsioon on aluseks gammajaotuseks nimetatavale tõenäosusjaotusele.

Funktsiooni ${\displaystyle \Gamma (x)}$ otsese definitsiooni kõigi argumentide ${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}$ jaoks annab gammafunktsiooni korrutisesitus Gaußi järgi,^[1][2]

${\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{x}}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\ ,}$

mille positiivsete reaalarvude jaoks andis juba Euler 1729.^[3] Sellest tuletatud on ${\displaystyle 1/\Gamma }$ esitus Weierstraßi korrutisena:^[4]

${\displaystyle 1/\Gamma (x)=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-x\log({\frac {n+1}{n}})}=x\cdot \mathrm {e} ^{\gamma \,x}\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-x/n}}$

Euleri-Mascheroni konstandiga ${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\bigl (}({\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb +{\tfrac {1}{n}})-\log n{\bigr )}}$. Teist korrutist nimetatakse tavaliselt Weierstraßi esituseks, ent Karl Weierstraß kasutas ainult esimest.^[5]

Sissejuhatuses toodud integraalesitus pärineb samuti Eulerilt (1729),^[6] ta kehtib üldisemalt positiivse reaalosaga kompleksarvude puhul:

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\,dt,}$     kui    ${\displaystyle {\text{Re }}x>0.}$

Euleri integraalesitusel on üks ilus variant^[7] juhtumil, kus ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ning ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (x)<1}$:

${\displaystyle \Gamma (x)=\mathrm {e} ^{\pi \cdot \mathrm {i} \cdot x/2}\cdot \int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot t}\,dt.}$

Sellest esitusest saab näiteks elegantselt tuletada Fresneli integraalvalemid.

Ernst Eduard Kummer esitas 1847 logaritmilise gammafunktsiooni arenduse Fourier' reaks:^[8]

${\displaystyle \log \Gamma (x)=\left({\tfrac {1}{2}}-x\right){\bigl (}\gamma +\log(2\pi ){\bigr )}+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\log k}{k}}\sin(2\pi kx)}$     für     ${\displaystyle 0<x<1,}$

seda nimetatakse ka Kummeri reaks. Juba 1846 leidis Carl Johan Malmstén sarnase rea:^[9]

${\displaystyle \log {\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+x)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}-x)}}=-2x\,{\bigl (}\gamma +\log(2\pi ){\bigr )}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}\sin(2\pi kx)}$     für     ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {1}{2}}\ .}$

Gammafunktsiooni varaseimaks definitsiooniks peetakse Daniel Bernoulli kirjas Christian Goldbachile 6. oktoobrist 1729 antud definitsiooni:^[10][11]

${\displaystyle {\Bigl (}A+{\frac {x}{2}}{\Bigr )}^{x-1}{\Bigl (}{\frac {2}{1+x}}\cdot {\frac {3}{2+x}}\cdot {\frac {4}{3+x}}\cdots {\frac {A}{A-1+x}}{\Bigr )}}$     lõpmata suure A korral on tänapäeva tähistustes ${\displaystyle x!}$ ehk${\displaystyle \Gamma (x+1).}$

Mõned päevad hiljem, 24./13. oktoobril 1729, kirjeldas Euler ka kirjas Goldbachile seda sarnast, pisut lihtsamat valemit,^[3]

${\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(1+m)(2+m)\cdots (n+m)}}\,(n+1)^{m}}$     läheneb n-i kasvades tänapäeva tähistustes ${\displaystyle m!}$ ehk ${\displaystyle \Gamma (m+1)}$ tõelisele väärtusele,

mille Gauß 1812 taasavastas üldisemal, kompleksarvude juhtumil^[2] (nimetatud kirjad avaldati alles 1843). 8. jaanuaril 1730 kirjeldas Euler kirjas Goldbachile järgmist integraali faktoriaali interpoleerimiseks,^[12] mille ta oli 28. novembril 1729 ette kandnud Venemaa Teaduste Akadeemiale:^[6]

${\displaystyle \int \!dx(-lx)^{n},}$     tänapäeva tähistustes:     ${\displaystyle \Gamma (n+1)=\int \limits _{0}^{1}(-\log x)^{n}dx.}$

Seda definitsiooni eelistas Euler hiljem kasutada,^[13] ta läheb asendusega ${\displaystyle t=-\log x}$ üle kujule ${\displaystyle \textstyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }t^{n}\mathrm {e} ^{-t}dt}$.

Euler avastas selle integraali, uurides üht mehaanika probleemi, milles vaadeldakse osakese kiirendust.

Adrien-Marie Legendre võttis 1809 funktsiooni sümbolina kasutusele kreeka suurtähe ${\displaystyle \Gamma }$ (gamma).^[14][15] Gauß kasutas 1812 funktsiooni sümbolina tähte ${\displaystyle \Pi }$ (pii) nõnda, et ${\displaystyle \Pi (x)=\Gamma (x+1)}$ ning seega ka ${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ mittenegatiivse täisarvulise n-i korral. See tähistus ei läinud käibele.

• Digammafunktion
• Meijeri G-funktsion

• Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion, B. G. Teubner, Leipzig 1906 (Interneti arhiivis, samas, samas)
• E. T. Whittaker, G. N. Watson: The Gamma function, Kapitel 12 in A course of modern analysis, Cambridge University Press, 4. Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S. 235–264 (inglise keeles; Interneti arhiivis)
• Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion (DjVu-fail, 30-sekundiline viivitus, 933 kB), B. G. Teubner, Leipzig 1931; The Gamma function, Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (Michael Butleri tõlge inglise keelde)
• Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen. B. G. Teubner, Leipzig 1951
• Philip J. Davis. Leonhard Euler's integral: A historical profile of the gamma function. The American Mathematical Monthly 66, 1959, lk 849–869 (inglise keeles; 1963 Chauvenet' auhind ausgezeichnet; bei MathDL)
• Konrad Königsberger: Die Gammafunktion, Kapitel 17 in Analysis 1. Springer, Berlin 1990; 6. trükk 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 351–360
• Reinhold Remmert: Die Gammafunktion, ptk 2 raamatus: Funktionentheorie 2, Springer, Berlin 1991; koos Georg Schumacheriga: 3. trükk 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, lk 31–73
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Die Gammafunktion, ptk 4.1 raamatus: Funktionentheorie 1, Springer, Berlin 1993; 4. trükk 2006, ISBN 3-540-31764-3, lk 194–212