Tasand

See artikkel räägib matemaatika mõistest; filosoofia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (filosoofia); anatoomia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (anatoomia)

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum.^[1] See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ℝ³ on tasandi võrrand viidav alati kujule

${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,.}$

kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d reaalarvulised kordajad.

Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:

• kolme mittekollineaarse tasandil asuva punktiga;
• tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
• kahe tasandil asuva sirgega;

Tasandi võrrand on normaalvektori ${\displaystyle \,{\vec {n}}=(a;b;c)}$ abil esitatav kujul

${\displaystyle {\vec {n}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=0\,,}$

kus ${\displaystyle \,{\vec {r}}=(x;y;z)}$ on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et ${\displaystyle \,{\vec {r}}_{0}=(x_{0};y_{0};z_{0})}$ on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {r}}_{0}=-d,\,}$. Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga ${\displaystyle {\vec {n}}}$.

Olgu ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(x_{1};y_{1};z_{1})}$, ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=(x_{2};y_{2};z_{2})}$ ja ${\displaystyle {\vec {r}}_{3}=(x_{3};y_{3};z_{3})}$ mittekollineaarsete punktide kohavektorid.

Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:

${\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|=0}$

mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul

${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|-\left(y-y_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|+\left(z-z_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{array}}\right|=0}$

Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{3})=0.}$

Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0\\ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0\\ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0\end{array}}\right.}$

Defineerides

${\displaystyle }$

saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil:

${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}},\quad b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}},\quad c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},\quad {\mbox{kus }}\,D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.}$

d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.

Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mittekollineaarsuse tõttu. See meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mittekomplanaarsed, mistõttu D = 0.

Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:

${\displaystyle {\vec {n}}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times ({\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{1})\,,}$

Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ või ${\displaystyle {\vec {r}}_{3}}$.

Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ ja tasand Π võrrandiga ${\displaystyle \,ax+by+cz+d=0}$, siis punkti ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ kaugus tasandist on

${\displaystyle \varrho ({\vec {r}}_{1},A)={\frac {\left|d+a{\text{x}}_{1}+{\text{b}}y_{1}+{\text{c}}z_{1}\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\,.}$

Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ abil saab kauguse esitada kujul

${\displaystyle \varrho ({\vec {r}}_{1},A)=\left|{\hat {n}}\cdot ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{0})\right|\,,}$

kus ${\displaystyle {\hat {n}}}$ on tasandi ühiknormaalvektor.

Olgu antud kaks tasandit ${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,}$ ja ${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,}$. Tasandite vaheline kahetahuline nurk ${\displaystyle \alpha }$ on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:

${\displaystyle \cos \alpha ={\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}$

kus ${\displaystyle {\hat {n}}_{1}}$ ja ${\displaystyle {\hat {n}}_{2}}$ on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.

Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a,b,c)}$ on

${\displaystyle \,{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial x}}(x-a)+{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial y}}(y-b)+{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial z}}(z-c)=0\,,}$

ehk gradiendi abil esitatuna

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {\nabla }}F({\vec {r}}_{0})=0\,.}$

 Pikemalt artiklis Hüpertasand

n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi nimetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+d=0}$, või lihtsalt ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)+d=0}$.

• Pind
• Komplekstasand
• Minimaalpind
• Pooltasand
• Ebatasand