حرکت یک پالس در ریسمانی که دو سر آن ثابت است. مدل نمایش داده شده با استفاده از معادله موج بدست آمده است. معادله موج (Wave equation) معادلهای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پارهای است. در حالت دو بعدی (نسبت به مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده میشود:
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u\!}
که در اینجا ∇ 2 = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\!} عملگر لاپلاس ، t {\displaystyle t\!} زمان ، u {\displaystyle u\!} دامنهٔ موج ، و c {\displaystyle c\!} ضریبی است ثابت برابر با سرعت موج.
به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، میتوان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، معادلهٔ غیرخطی موج خواهیم داشت
∂ 2 u ∂ t 2 = c ( u ) 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\nabla ^{2}u}
معادله درجهٔ اول موج [ ویرایش ] امواج کروی صادره از یک منبع نقطهای. (در حالت یکبعدی نسبت بهمکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را میتوانیم به دو معادله درجه اول موج بهصورت زیر قسمت کنیم:
[ ∂ ∂ t − c ∂ ∂ x ] [ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] u = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}
⇓ {\displaystyle {\Big \Downarrow }}
∂ u ∂ t − c ∂ u ∂ x = 0 and ∂ u ∂ t + c ∂ u ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}
در حالت یک بعدی داریم:
∂ 2 u ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=0\!}
برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام میدهیم:
x + c t = ξ {\displaystyle x+ct=\xi \!} ، x − c t = η {\displaystyle x-ct=\eta \!}
به سادگی میتوان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید ξ {\displaystyle \xi \!} و η {\displaystyle \eta \!} معادله موج به صورت زیر در میآید:
u ξ η = ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0 {\displaystyle u_{\xi \eta }={\partial ^{2}u \over \partial \xi \,\partial \eta }=0\!}
که با انتگرالگیری ازآن داریم:
u = f ( ξ ) + g ( η ) {\displaystyle u=f(\xi )+g(\eta )\!}
که در اینجا f {\displaystyle f\!} و g {\displaystyle g\!} توابع دلخواه (ولی مشتقپذیر) هستند.
جواب سینوسی [ ویرایش ] یک جواب معادلهٔ موج میتواند به این شکل باشد:
u ( x , t ) = A sin ( k x − ω t + ϕ ) {\displaystyle u(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\phi )\,} k {\displaystyle k} عدد موج ، ω {\displaystyle \omega } سرعت زاویهای ، λ {\displaystyle \lambda } طول موج ، ϕ {\displaystyle \phi } فاز، T {\displaystyle T} دوره تناوب و f {\displaystyle f} بسامد حرکت نوسانی نام دارند.
ω = 2 π T = 2 π f , k = 2 π λ , c = λ T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f\quad ,\quad k={\frac {2\pi }{\lambda }}\quad ,\quad c={\frac {\lambda }{T}}}
سرعت فاز و سرعت گروه [ ویرایش ] جایی که (A(z,t پوشش دامنهای که برای موج داریم و K تعداد موج و ϕ {\displaystyle \phi } نمایانگر فاز موج است. سرعت فاز v p این موج توسط v p = ω k = λ f , {\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,\,} نشان داده میشود. ( λ {\displaystyle \lambda } نمایانگر طول موج است.
جستارهای وابسته [ ویرایش ]
Farlow, S. J., Partial Differential Equations for Scientists and Engieers , Dover, New York, 1982 Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations , Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1