Points cocycliques
En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.
Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.
Quatre points cocycliques
[modifier | modifier le code]Propriété — Soient , , et quatre points distincts du plan. Alors , , , sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés
La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.
Si sont les affixes (cad. sont des nombres complexes ) respectives de , la condition précédente s'écrit aussi
D'où en utilisant le birapport, la condition équivalente :
![{\displaystyle [a,b,c,d]=\left({\frac {c-b}{c-a}}\right):\left({\frac {d-b}{d-a}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc63112aba109f3f62c7d2901d806cc473be54e3)
Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.
Théorème — Soient , , et quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :
- .
L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -[1].
Liens externes
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Concyclic », sur MathWorld
Références
[modifier | modifier le code]- Donné sous cette forme par Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », (ISBN 9782842250355), p. 154.
