Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

En géométrie euclidienne plane, plus précisément dans la géométrie du cercle, les théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations liant les angles inscrits^[1] et les angles au centre interceptant un même arc.

• Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc (figure 1 et 2, ${\displaystyle 2{\widehat {AMB}}={\widehat {AOB}}}$).
• Le théorème de l'angle inscrit est une conséquence du précédent et affirme que deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure (figure 1).

Il existe deux versions de ces théorèmes, une concernant les angles géométriques et l'autre les angles orientés.

Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit de sommet M est aigu, donc l'angle au centre de sommet O saillant (figure 1), l'autre où l'angle inscrit de sommet M est obtus, donc l'angle au centre de sommet O rentrant (figure 2).

Le cas d'un angle inscrit dans un demi-cercle est le cas particulier pour lequel l'angle au centre est un angle plat, et donc l'angle inscrit est un angle droit.

L'énoncé et la démonstration de la propriété sont beaucoup plus simples avec des angles orientés.

Cette propriété est une conséquence immédiate^[2] du théorème de l'angle au centre ci-dessus.

Les angles inscrits interceptent deux arcs complémentaires si leurs sommets sont de part et d'autre de la corde associée aux deux arcs.

La propriété énoncée est encore une conséquence directe du théorème de l'angle au centre. Lorsque les arcs sont complémentaires, la somme des angles au centre donne un angle plein. Comme les angles inscrits valent moitié des angles au centre, la somme des angles inscrits donne un angle plat.

Ce théorème est à la base de la notion de cercle de focalisation, ou cercle de Rowland, en spectrométrie.

La propriété des angles inscrits se généralise aux angles que fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente :

L'angle inscrit a même mesure que l'angle formé par la corde, qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé de l'angle en question par rapport à la corde.

L'angle inscrit ${\displaystyle {\widehat {AMB}}}$ a même mesure que celle d'un des deux angles formés par la tangente (TT') au cercle en A avec la corde [AB] :

L'angle inscrit ${\displaystyle {\widehat {AMB}}}$ est de même mesure que l'angle ${\displaystyle {\widehat {BAT}}}$ de la corde [BA] avec la tangente [AT).

${\displaystyle {\widehat {BAT}}}$ est la position limite de l'angle inscrit ${\displaystyle {\widehat {BMA}}}$ lorsque M « tend » vers A.

Démonstration

Si H est le milieu de [AB], les angles ${\displaystyle {\widehat {HOA}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {BAT}}}$ ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils ont même mesure.

(OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA, on a ${\displaystyle {\widehat {HOA}}={\frac {1}{2}}{\widehat {BOA}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {BAT}}}$ est bien égal à la moitié de la mesure de l'angle au centre ${\displaystyle {\widehat {BOA}}}$ et donc à la mesure de l'angle ${\displaystyle {\widehat {BMA}}}$ d'après le théorème de l'angle au centre.

Pour les angles orientés, la propriété devient une caractérisation du cercle passant par les points A, M et B.

On remarquera que l'égalité n'est vraie qu'à π près, ce qui explique que les angles géométriques puissent être supplémentaires.

Théorème de l'angle entre deux cordes sécantes : l'angle entre deux cordes sécantes est égal à la moyenne des angles au centre interceptés ; avec les notations de la figure :${\displaystyle {\widehat {AMB'}}={\widehat {A'MB}}={\frac {1}{2}}({\widehat {AOB'}}+{\widehat {A'OB}})}$.

Démonstration :

D'après le théorème de l'angle inscrit, ${\displaystyle {\widehat {A'AB}}={\widehat {A'B'B}}=\alpha }$ et ${\displaystyle {\widehat {AA'B'}}={\widehat {ABB'}}=\beta }$, et d'après la propriété des angles du triangle ${\displaystyle AMA'}$ (ou ${\displaystyle BMB'}$) , ${\displaystyle {\widehat {AMB'}}=\alpha +\beta }$ ; or ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}{\widehat {A'OB}}}$ et ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}{\widehat {AOB'}}}$ d'où le résultat.

On en déduit que si les cordes sont perpendiculaires, on a la relation entre longueurs d'arcs : ${\displaystyle {\overset {\frown }{AA'}}+{\overset {\frown }{BB'}}={\overset {\frown }{A'B}}+{\overset {\frown }{B'A}}=\pi R}$, relation connue d'Archimède ^[5].

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Théorème de l'angle inscrit » (voir la liste des auteurs).

• Arc capable
• Cercle circonscrit à un triangle
• Points cocycliques
• Théorème de Miquel

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