Fonction de transfert optique

On désigne par ${\displaystyle M_{o}(a,b)}$ la distribution de l'exitance dans le plan objet. Pour l'exitance comme pour les autres grandeurs dans la suite, il peut aussi bien s'agir de grandeurs photométriques que de grandeurs énergétiques.

Hypothèse 1 : l'objet est supposé être une source orthotrope si bien que son exitance lumineuse dans la direction de la pupille d'entrée du système optique est proportionnelle à sa luminance selon la loi de Lambert.

Le plan image est décomposé en surfaces élémentaires ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}S_{o}=\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b}$ qui émettent dans la direction de la pupille d'entrée du système optique. L'angle solide élémentaire est ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Omega _{l}={\frac {\mathrm {d} ^{2}S_{l}\cos \theta }{\delta _{o}^{2}}}}$ où ${\displaystyle \delta _{o}}$ est la distance entre les points ${\displaystyle (a,b)}$ et ${\displaystyle (X,Y)}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}S_{l}}$ un élément de surface de la pupille. Le flux élémentaire émis par un élément de surface du plan objet dans l'angle solide élémentaire ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Omega _{l}}$ s'exprime :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}\Phi _{o}(a,b,X,Y)=\mathrm {d} ^{2}I_{o}(a,b)\,\mathrm {d} ^{2}\Omega _{l}(a,b,X,Y)=L_{o}(a,b)\,\cos \theta \ \mathrm {d} ^{2}S_{o}\,\mathrm {d} ^{2}\Omega _{l}(a,b,X,Y)=\mathrm {d} ^{2}M_{o}(a,b,X,Y)\,\mathrm {d} ^{2}S_{o}}$,

où ${\displaystyle \theta }$ est l'angle entre le rayon et la normale aux différents plans étudiés.

Hypothèse 2 : l'objet et l'image sont petits face à la distance ${\displaystyle D_{o}}$.

On peut négliger les variations du facteur ${\displaystyle \cos \theta }$ qui sera pris égal à 1, ce qui revient à négliger le phénomène de vignettage naturel qui se manifeste par un assombrissement de l'image lorsqu'on s'éloigne de l'axe optique. De plus, on pourra prendre ${\displaystyle \delta _{o}\simeq D_{o}}$, distance entre le plan objet et la pupille. Alors, l'angle solide qui embrasse la pupille  :

${\displaystyle \Omega _{l}=\int \!\!\!\!\int _{S_{l}}d^{2}\Omega _{l}(a,b,X,Y)={\frac {S_{l}}{D_{o}^{2}}}}$.

Ainsi, le flux élémentaire en provenance de ${\displaystyle (a,b)}$ vers l'ouverture de la pupille d'entrée est

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Phi _{o}(a,b)=\int \!\!\!\!\int _{S_{l}}d^{4}\Phi _{o}(a,b,X,Y)}$,

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Phi _{o}(a,b)=L_{o}(a,b)\,\Omega _{l}\,\mathrm {d} ^{2}S_{o}=M_{o}(a,b)\,\mathrm {d} ^{2}S_{o}}$

Au passage du système optique, la majorité du flux ressort du système optique en direction du point image déterminé couramment dans les conditions du stigmatisme approché assurées par l'hypothèse 2. Mais une partie du flux ne converge pas vers ce point du fait de la diffraction (impossible à corriger) et des aberrations du système optique. La répartition de l'éclairement reçu par une surface élémentaire du plan image est obtenu par le biais de la réponse impulsionnelle spatiale ${\displaystyle {\mathcal {H}}(a,b,x,y)}$ du système optique, c'est-à-dire à son comportement face à un objet ponctuel. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ est aussi nommée fonction d'étalement du point, ce qui est plus imagé. Le flux élémentaire reçu par un élément de surface du plan image en provenance d'une surface élémentaire du plan objet est :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}\Phi _{i}(a,b,x,y)={\mathcal {H}}(a,b,x,y)\,\mathrm {d} ^{2}\Phi _{o}(a,b)={\mathcal {H}}(a,b,x,y)\,M_{o}(a,b)\,\mathrm {d} ^{2}S_{0}\,\mathrm {d} ^{2}S_{i}=\mathrm {d} ^{2}E_{i}(a,b,x,y)\,\mathrm {d} ^{2}S_{i}}$.

Hypothèse 3 : le système optique n'absorbe pas le flux lumineux : il est parfaitement transparent.

Il n'y a pas de flux absorbé et

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Phi _{o}(a,b)=\int \!\!\!\!\int _{S_{i}}\mathrm {d} ^{4}\Phi _{i}(a,b,x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{i}}\mathrm {d} ^{2}E_{i}(a,b,x,y)\,\mathrm {d} ^{2}S_{i}}$.

Hypothèse 4 : les éléments de surface du plan objet émettent des lumières incohérentes, c'est-à-dire qui n'interfèrent pas entre elles.

Le flux total reçu par un élément de surface image est la somme des flux élémentaires :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Phi _{i}(x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}\mathrm {d} ^{4}\Phi _{i}(a,b,x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}{\mathcal {H}}(a,b,x,y)\,M_{o}\,\mathrm {d} ^{2}S_{o}\,\mathrm {d} ^{2}S_{i}=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}\mathrm {d} ^{2}E_{i}(a,b,x,y)\,\mathrm {d} ^{2}S_{i}}$,

ou encore

${\displaystyle E_{i}(x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}\mathrm {d} ^{2}E_{i}(a,b,x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}{\frac {\mathrm {d} ^{4}\Phi _{i}}{\mathrm {d} ^{2}S_{i}}}=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}{\mathcal {H}}(a,b,x,y)\,M_{o}(a,b)\,\mathrm {d} ^{2}S_{o}}$

${\displaystyle E_{i}(x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}{\mathcal {H}}(a,b,x,y)\,M_{o}(a,b)\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b}$.

Hypothèse 5 : le système est invariant dans l'espace, c'est-à-dire qu'un déplacement de l'objet dans le plan objet se traduit par un déplacement de l'image dans le plan image.

Alors, la réponse impulsionnelle ne dépend que de la différence entre la position étudiée et la position du centre de l'image formée : ${\displaystyle {\mathcal {H}}(a,b,x,y)={\mathcal {H}}(x+\gamma _{t}a,y+\gamma _{t}b)}$. En effet, dans le cas d'un point objet ${\displaystyle (a,b)}$, la majorité du flux converge vers un point image ${\displaystyle (\gamma _{t}a,\gamma _{t}b)}$ tandis qu'une partie vient s'étaler à son voisinage plus ou moins proche.

On pose ${\displaystyle a'=-\gamma _{t}a}$ et ${\displaystyle b'=-\gamma _{t}b}$, puis on introduit une distribution fictive correspondant à l'image idéale (y compris sans diffraction) ${\displaystyle E_{o}(a',b')={\frac {1}{\gamma _{t}^{2}}}M_{o}(a,b)}$.

${\displaystyle E_{i}(x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}{\mathcal {H}}(x-a',y-b')\,E_{o}(a',b')\,\mathrm {d} a'\,\mathrm {d} b'}$,

${\displaystyle E_{i}(x,y)=({\mathcal {H}}*E_{o})(x,y)}$

Hypothèse 6 : le grandissement transversal vaut ${\displaystyle \gamma _{t}=-1}$.

On obtient ${\displaystyle {\mathcal {H}}(a,b,x,y)={\mathcal {H}}(x-a,y-b)}$, et

${\displaystyle E_{i}(x,y)=\int \!\!\!\!\int _{S_{o}}{\mathcal {H}}(x-a,y-b)\,M_{o}(a,b)\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b}$,

${\displaystyle E_{i}(x,y)=({\mathcal {H}}*M_{o})(x,y)}$.Compte tenu des propriétés des de la transformation de Fourier,

${\displaystyle {\hat {E}}_{i}(\nu _{x},\nu _{y})={\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})\,{\hat {M}}_{o}(\nu _{x},\nu _{y})}$.

L'étude de la diffraction pour une lentille mince à l'aide de l'approximation de Fresnel aboutit à une expression de la fonction d'étalement du point en amplitude qui correspond à la figure de diffraction de Fraunhofer :

${\displaystyle h(x,y)=-{\frac {1}{\lambda ^{2}D_{i}D_{o}}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t(X,Y)\ \mathrm {e} ^{{\frac {-\mathrm {i} \,2\pi }{\lambda D_{i}}}\left(xX+yY\right)}\ \mathrm {d} X\ \mathrm {d} Y}$.

En introduisant les variable réduites ${\displaystyle X'={\frac {-X}{\lambda D_{i}}}}$ et ${\displaystyle Y'={\frac {-Y}{\lambda D_{i}}}}$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} X=-\lambda D_{i}\mathrm {d} X'}$, et sachant que ${\displaystyle \gamma _{t}=-D_{i}/D_{o}}$, il vient :

${\displaystyle h(x,y)=\gamma _{t}\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }t\left(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y'\right)\ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,2\pi \left(xX'+yY'\right)}\ \mathrm {d} X'\ \mathrm {d} Y'}$,

${\displaystyle h(x,y)=\gamma _{t}\ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{t(-\lambda D_{i}X',-\lambda D_{i}Y')\right\}}$

La fonction d'étalement du point est donnée par : ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,y)=|h(x,y)|^{2}}$.

${\displaystyle E_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }E_{o}(a,b)\,{\mathcal {H}}(x-a',y-b')\ \mathrm {d} a'\ \mathrm {d} b'}$

${\displaystyle E_{i}(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\!\int _{-\infty }^{\infty }E_{o}(a,b)\,|h(x-a',y-b')|^{2}\ \mathrm {d} a'\ \mathrm {d} b'}$

La fonction de transfert optique est :

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})={\mathcal {F}}\left\{|h(x,y)|^{2}\right\}={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}*{\mathcal {F}}\left\{h^{*}(x,y)\right\}={\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})\otimes {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})}$,

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}^{2}\ t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})\otimes t(-\lambda D_{i}\nu _{x},-\lambda D_{i}\nu _{y})}$.

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).

${\displaystyle {\hat {h}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}\ t(\lambda D_{i}\nu _{x},\lambda D_{i}\nu _{y})}$

La fonction de transfert optique normalisée est :

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}_{1}(\nu _{x},\nu _{y})={\frac {{\mathcal {F}}\left\{|h(x,y)|^{2}\right\}}{\int \!\int _{-\infty }^{\infty }|h(x,y)|^{2}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}}$

Le facteur de transmission correspond à la forme de l'ouverture :

${\displaystyle t(X,Y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\leq {\frac {d}{2}}\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}$,

Sachant que ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}(\nu _{x},\nu _{y})=\gamma _{t}^{2}\ t(\lambda D_{i}\nu _{x},\lambda D_{i}\nu _{y})\otimes t(\lambda D_{i}\nu _{x},\lambda D_{i}\nu _{y})}$, l'autocorrélation, incidemment l'autoconvolution car la fonction est réelle et paire, peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayon ${\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }}$ vérifiant ${\displaystyle {\sqrt {(\lambda D_{i}\nu _{x})^{2}+(\lambda D_{i}\nu _{y})^{2}}}\leq d/2}$, d'où ${\displaystyle {\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}=\nu _{\mathrm {max} }\leq {\frac {d}{2\lambda f'}}}$.

On observe dès lors qu'il existe une certaine fréquence de coupure ${\displaystyle \nu _{c}}$, au-delà de laquelle les deux disques ne s'interceptent plus et la fonction devient nulle : ${\displaystyle \nu _{c}=2\cdot \nu _{\mathrm {max} }={\frac {d}{\lambda f'}}={\frac {1}{\lambda N}}}$.

Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur un axe quelconque. On s'intéresse d'abord au cas des fréquences positives ${\displaystyle \nu >0}$ uniquement.

En paramétrant les fréquences positives par l'angle ${\displaystyle \theta }$, tel que ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\nu /2}{\nu _{c}/2}}={\frac {\nu }{\nu _{c}}}}$, et en calculant l'aire comme somme de deux segments circulaires symétriques sous-tendus par l'angle ${\displaystyle 2\theta }$, on a :

${\displaystyle A=2\left({\frac {(\nu _{c}/2)^{2}}{2}}(2\theta -\sin 2\theta )\right)}$

${\displaystyle A={\frac {\nu _{c}^{2}}{4}}\left(2\theta -2\cos \theta \,\sin \theta \right)}$

Or :

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\nu }{\nu _{c}}}}$ et ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}$

D'où :

${\displaystyle A={\frac {\nu _{c}^{2}}{2}}\left(\arccos \left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)-{{\frac {\nu }{\nu _{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}}}\right)}$

Au maximum, l'aire vaut ${\displaystyle A_{\mathrm {max} }=\pi \,(\nu _{c}/2)^{2}=\pi \,\nu _{c}^{2}/4}$.

En normalisant par ${\displaystyle A_{\mathrm {max} }}$ pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, et en observant la symétrie qui impose que la fonction soit paire, on obtient  :

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}_{1}(\nu )={\frac {2}{\pi }}\left(\arccos \left({\frac {|\nu |}{\nu _{c}}}\right)-{{\frac {|\nu |}{\nu _{c}}}{\sqrt {1-\left({\frac {\nu }{\nu _{c}}}\right)^{2}}}}\right)}$.