אלגברת לי

אלגברת לי (נקראת על שם סופוס לי) היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p. זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.

אלגברת לי היא מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (בדרך כלל, שדה הממשיים או שדה המרוכבים) ביחד עם פעולה ביליניארית ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:V\times V\rightarrow V}$ הנקראת "סוגריים של לי" (Lie bracket), המקיימת את התכונות הבאות:

1. ${\displaystyle [x,x]=0}$ לכל ${\displaystyle x}$ ב-${\displaystyle V}$.
2. ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$ לכל ${\displaystyle x,y,z}$ ב-${\displaystyle V}$ ("זהות יעקובי").

מהתכונה הראשונה נובע כי סוגרי-לי הם אנטי-סימטריים, כלומר ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$ לכל ${\displaystyle x,y}$ ב-${\displaystyle V}$. האנטי-סימטריות גוררת את התכונה הראשונה, בתנאי שהמאפיין של ${\displaystyle \mathbb {F} }$ אינו 2.

המכפלה המוצגת על ידי סוגרי לי אינה אסוציאטיבית, כלומר: ${\displaystyle [x,[y,z]]\neq [[x,y],z]}$, אלא אם האלגברה נילפוטנטית מסדר שני, דהיינו ${\displaystyle [x,[y,z]]=0}$.

להלן כמה מושגים סטנדרטיים בכל תחום של אלגברה. הומומורפיזם של אלגברות לי ${\displaystyle f:L\to L'}$ הוא העתקה ליניארית ששומרת על הפעולה, ${\displaystyle f([x,y])=[f(x),f(y)]}$. תת-אלגברת לי היא תת-מרחב וקטורי שהוא סגור ביחס לפעולה. אידיאל באלגברת לי ${\displaystyle L}$ הוא תת-מרחב וקטורי ${\displaystyle J}$ המקיים ${\displaystyle [x,y]\in J}$ לכל ${\displaystyle x\in L,\ y\in J}$. תמונה של כל הומומורפיזם היא תת-אלגברת לי, גרעין של כל הומומורפיזם הוא אידיאל. אלגברת לי ${\displaystyle L}$ שאין בה אידיאלים פרט ל-${\displaystyle \{0\}}$ ו-${\displaystyle L}$, נקראת פשוטה אם ${\displaystyle \operatorname {dim} L>1}$.

1. אלגברת לי קומוטטיבית: כל מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ הופך באופן טריוויאלי לאלגברת לי עם סוגרי לי השווים זהותית 0 (${\displaystyle \forall v,w:\ [v,w]=0}$).
2. המרחב הווקטורי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ עם המכפלה הווקטורית הוא אלגברת לי.
3. בהינתן אלגברה אסוציאטיבית ${\displaystyle A}$ עם פעולת כפל ${\displaystyle *}$ אפשר להגדיר אלגברת לי עם הפעולה ${\displaystyle [x,y]=x*y-y*x}$ (פעולה הידועה בשם "קומוטטור").
4. מרחב השדות הווקטורים החלקים על יריעה גזירה מהווה אלגברת לי מממד אינסופי ביחס לפעולה שנוח מאוד לתאר כשמפרשים את שדות הווקטורים כאופרטורי גזירה על אוסף הפונקציות החלקות. בשפה זאת, הפעולה מתאימה לזוג שדות ווקטורים ${\displaystyle X,Y}$ את השדה הווקטורי ${\displaystyle [X,Y]}$ המגדיר את האופרטור ${\displaystyle f\mapsto X(Y(f))-Y(X(f))}$.

תהי ${\displaystyle L}$ אלגברת לי. הצגה של ${\displaystyle L}$ היא מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ יחד עם העתקה ביליניארית

${\displaystyle L\times V\to V,\ x\in L,v\in V\mapsto xv}$ המקיימת את התנאי ${\displaystyle [x,y]v=x(yv)-y(xv)}$. 

במילים אחרות, הצגה של ${\displaystyle L}$ במרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ ניתנת על-ידי הומומורפיזם של אלגבראות לי ${\displaystyle L\to \operatorname {End} (V)}$, כאשר מבנה של אלגברת לי על ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$ ניתנת על-ידי קומוטטור של אופרטורים.

על האלגברה ${\displaystyle L}$ מגדירים את הפעולה המצורפת של איבר ${\displaystyle x}$, לפי ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$. זוהי פונקציה ${\displaystyle \operatorname {ad} :L\rightarrow \operatorname {End} (L)}$, המהווה (לפי זהות יעקובי) הומומורפיזם של אלגברות לי.

אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=T_{e}G}$. כל וקטור משיק ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ מגדיר באופן יחיד את שדה הווקטורים על החבורה ${\displaystyle G}$ האינוואריאנטי ביחס לפעולה של ${\displaystyle G}$ על עצמה מצד שמאל. אוסף שדות הווקטורים האינוואריאנטיים סגור ביחס לסוגרי לי של שדות הווקטורים; זה מגדיר את הסוגריים על ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$. בניה זו מגדירה פונקטור מקטגוריה של חבורות לי לזאת של אלגבראות לי. ישנן חבורות לי שונות עם אותה אלגברת לי. כך למשל, אלגברת לי ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}}$ מתאימה לחבורות לי ${\displaystyle \mathrm {SO} _{n}}$, ${\displaystyle \mathrm {O} _{n}}$ ו-${\displaystyle \mathrm {Spin} _{n}}$. עם זאת, לכל אלגברת לי ממשית בעלת ממד סופי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.

אם ${\displaystyle (A,\cdot )}$ אלגברה אסוציאטיבית, אפשר להגדיר בה פעולה חדשה על ידי ${\displaystyle [x,y]=x\cdot y-y\cdot x}$, והאלגברה המתקבלת, בעלת המבנה החיבורי של ${\displaystyle A}$ והמבנה הכפלי שמגדירה הפעולה החדשה, היא תמיד אלגברת לי, שאותה מסמנים ב-${\displaystyle A^{-}}$. כל אלגברת לי ${\displaystyle L}$ ניתנת לשיכון באלגברת מהצורה ${\displaystyle A^{-}}$ (משפט פואנקרה-בירקהוף-וויט). אם ${\displaystyle L}$ מממד סופי, קיימת ${\displaystyle A}$ כזו מממד סופי אף היא (Ado במאפיין אפס, Iwasawa במאפיין חיובי); אלגברה כזאת נקראת מעטפת אסוציאטיבית של ${\displaystyle L}$. לכל אלגברת לי ${\displaystyle L}$ קיימת מעטפת אסוציאטיבית אוניברסלית, ${\displaystyle U(L)}$. המעטפת האוניברסלית היא תחום אינסוף-ממדי המשוכן בחוג עם חילוק, וכאשר ${\displaystyle L}$ מממד סופי (בתור מרחב וקטורי) אז ${\displaystyle U(L)}$ בעלת ממד גלפנד-קירילוב השווה לממד של ${\displaystyle L}$. קטגוריה של מודולים מעל אלגברת לי ${\displaystyle L}$ שקולה לקטגוריה של מודולים שמאליים מעל ${\displaystyle U(L)}$.

באופן כללי יותר, לכל אלגברה לא אסוציאטיבית ${\displaystyle A}$ אפשר להגדיר פעולת 'סוגרי לי' באותו אופן, אולם לא תמיד תתקבל אלגברת לי; אלגברה ${\displaystyle A}$ שהאלגברה המתקבלת ממנה היא אלגברת לי, נקראת Lie admissible. מחלקה זו מוגדרת על ידי זהות חלשה ביותר של האסוציאטור: ${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{3}}\operatorname {sgn}(\sigma )(x_{\sigma 1},x_{\sigma 2},x_{\sigma 3})=0}$. במאפיין שונה מ-2, משפחת האלגברות שהן גם Lie admissible וגם מקיימות את הזהות הגמישה מאופיינת על ידי הזהות ${\displaystyle (x,y,z)=(y,x,z)+(x,z,y)}$, שממנה נובע ${\displaystyle (x,y,z)+(y,z,x)+(z,x,y)=0}$.

אלגברת פואסון היא אלגברה קומוטטיבית המצוידת במבנה פואסון, שהוא סוגריים ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ המהווים סוגרי לי, ולכל ${\displaystyle x\in L}$ ההעתקה ${\displaystyle \{x,-\}}$ מהווה דריבציה; במילים אחרות, לכל ${\displaystyle x,y,z}$ מתקיים ${\displaystyle \{x,yz\}=\{x,y\}z+y\{x,z\}}$.

לכל אלגברת לי ${\displaystyle (L,[\cdot ,\cdot ])}$ ניתן להתאים מעטפת פואסון, שהמבנה שלה כאלגברה קומוטטטיבית היא האלגברה הסימטרית של ${\displaystyle L}$, כלומר אלגברת פולינומים במשתנים פורמליים המתאימים לאיברי בסיס של ${\displaystyle L}$, ומבנה הפואסון מושרה על ידי ${\displaystyle \{x,y\}=[x,y]}$ לכל שני איברי בסיס ${\displaystyle x,y\in L}$.

תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים. לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל פתיר (אידיאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה פשוטה למחצה, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.

לכל אלגברת לי פשוטה למחצה ${\displaystyle L}$ קיימת תת-אלגברת קרטן ${\displaystyle H}$, שהיא תת-אלגברה קומוטטיבית מקסימלית וכך שכל איבר שלה פועל על ${\displaystyle L}$ כאופרטור פשוט למחצה. העתקה ליניארית ${\displaystyle \lambda :H\to \mathbb {F} }$ השונה מ-${\displaystyle 0}$ נקראת שורש אם המרחב ${\displaystyle L_{\lambda }=\left\{x\in L\mid \forall a\in H:\mathrm {ad} _{a}(x)=[a,x]=\lambda (a)x\right\}}$ אינו אפס. קבוצת השורשים ${\displaystyle \Delta }$ סופית והיא מביאה לפירוק של ${\displaystyle L}$ לסכום ישר ${\displaystyle L=L_{0}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }L_{\lambda }}$. בפירוק זה ${\displaystyle H=L_{0}}$.

על קבוצת השורשים ביחס לתת-אלגברת קרטן ${\displaystyle H}$ של ${\displaystyle L}$ אפשר לחשוב כקבוצה של וקטורים במרחב הדואלי ${\displaystyle H^{*}}$, שהוא מרחב מכפלה פנימית ביחס לתבנית קילינג של ${\displaystyle L}$. באופן כזה, מקיימת קבוצת השורשים מספר אקסיומות גאומטריות, ובראשן העובדה שהיא סגורה לשיקוף ביחס לכל אחד מן האיברים שלה (ראה מערכת שורשים). מאקסיומות אלה נובע, למשל, שהזווית בין שני שורשים פשוטים יכולה להיות ישרה או קהה. את הזוויות האלה אפשר לקודד במטריצת קרטן, שממנה אפשר לשחזר את לוח הכפל של ${\displaystyle L}$ כולה. את אלגברת לי אפשר לתאר גם באמצעות דיאגרמות דינקין המקודדות את המבנה של מערכת השורשים של האלגברה.

התכונות המיוחדות למטריצות קרטן מאפשרות למיין את כל האלגברות הפשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0: ישנן ארבע משפחות אינסופיות ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$, ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': ${\displaystyle G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8}}$. מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.

תהי ${\displaystyle L}$ אלגברת לי מעל חוג קומוטטיבי שבו 2,3 הפיכים. איבר ${\displaystyle a\in L}$ שעבורו ${\displaystyle \,\operatorname {ad} _{a}^{3}=0}$ נקרא איבר ז'ורדן. לכל איבר ז'ורדן ניתן לצייד את ${\displaystyle L}$ בפעולה חדשה: ${\displaystyle x\bullet y=[[x,a],y]}$; נסמן ב-${\displaystyle \ L_{a}}$ את האלגברה ${\displaystyle L=L/\operatorname {Ker} (\operatorname {ad} _{a}^{2})}$ עם הפעולה המושרית מ-${\displaystyle \bullet }$ על מנה זו. זוהי אלגברת ז'ורדן, המקודדת חלק מן המידע הצפון ב-${\displaystyle L}$. למשל, אם ${\displaystyle L}$ אלגברת לי עם זהות פולינומית, אז גם ${\displaystyle \ L_{a}}$מקיימת זהות (ז'ורדן) פולינומית.

• הכללות של אלגברות לי: אלגברת מלצב, אלגברת לייבניץ, אלגברת פואסון.

• אלגברת לי, באתר MathWorld (באנגלית)
• אלגבראות לי, דף שער בספרייה הלאומית