הומומורפיזם

ערך זה עוסק בהעתקה משמרת באלגברה. אם התכוונתם להעתקה משמרת בלוגיקה מתמטית, ראו הומומורפיזם (לוגיקה).

באלגברה, הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים אלגבריים מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם מתרגם תכונות מסוימות של המבנה הראשון אל המבנה השני. הומומורפיזם הפיך נקרא איזומורפיזם.

• הומומורפיזם בין חבורות הוא פונקציה ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ שעבורה ${\displaystyle \varphi (g_{1}\!\cdot \!g_{2})=\varphi (g_{1})*\varphi (g_{2})}$ לכל ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של ${\displaystyle G}$, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של ${\displaystyle H}$. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של ${\displaystyle G}$ עובר לאיבר היחידה של ${\displaystyle H}$, וההפכי עובר להפכי.
• הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים נקרא העתקה ליניארית. זוהי פונקציה מן הווקטורים של מרחב ${\displaystyle V}$ מעל שדה ${\displaystyle F}$, אל הווקטורים של מרחב ${\displaystyle W}$ מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: ${\displaystyle \varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})}$ (לכל שני וקטורים ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$) ו-${\displaystyle \varphi (\alpha \cdot v)=\alpha \cdot \varphi (v)}$ (לכל וקטור ${\displaystyle v\in V}$ וסקלר ${\displaystyle \alpha \in F}$). אותן דרישות, בהחלפת השדה ${\displaystyle F}$ בחוג כלשהו ${\displaystyle R}$, מגדירות הומומורפיזם בין מודולים. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל איבר האפס של השני, משום שהדרישה נובעת מן הדרישות האחרות.
• הומומורפיזם בין חוגים הוא פונקציה ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ (כאשר ${\displaystyle R,S}$ הם חוגים עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של ${\displaystyle R}$ לאיבר היחידה של ${\displaystyle S}$. תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל-${\displaystyle R,S}$ יש איבר יחידה, ו-${\displaystyle S}$ הוא תחום שלמות, או ש-${\displaystyle f}$ היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.

נניח כי ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. התמונה היא אוסף האיברים ${\displaystyle {\text{Im}}(\varphi )}$ של ${\displaystyle B}$ המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי ${\displaystyle A}$. בקטגוריות רבות הנפוצות באלגברה, אוסף האיברים של ${\displaystyle A}$ המועתקים אל איבר האפס (איבר היחידה במקרה של חבורה) של ${\displaystyle B}$ נקרא הגרעין של ההומומורפיזם ומסומן ${\displaystyle \ker(\varphi )}$. בחבורות, לדוגמה, התמונה היא תת-חבורה של ${\displaystyle B}$, ואילו הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של ${\displaystyle A}$. קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה (חבורת מנה, חוג מנה, מודול מנה), ואז מתקיים משפט האיזומורפיזם הראשון: ${\displaystyle A/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )}$.

לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של תורת הקטגוריות, ואין הן קיימות בכל קטגוריה.

באופן כללי יותר, לכל הומומורפיזם של מבנים אלגבריים ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ ניתן להתאים קונגרואנציה (יחס שקילות שהוא תת-מודל של המכפלה הישרה ${\displaystyle A\times A}$), וקבוצת המנה המצוידת באותו מבנה אלגברי, איזומורפית לתמונה. הגדרה זו הכרחית למשל בהקשר של מונואידים או חבורות למחצה.

בקטגוריות של חבורות, חבורות למחצה, מונואידים, חוגים, מודולים, מרחבים וקטוריים:

• הומומורפיזם חד-חד-ערכי נקרא מונומורפיזם, ומכונה גם שיכון.
• הומומורפיזם על נקרא אפימורפיזם.
• הומומורפיזם חד-חד-ערכי ועל נקרא איזומורפיזם.
• הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא אנדומורפיזם. (אנדו = פנימי)
• איזומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא אוטומורפיזם. (אוטו = עצמי)

• הומומורפיזם, באתר MathWorld (באנגלית)
• הומומורפיזם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)