אלומה (מתמטיקה)

במתמטיקה, אלומה (בצרפתית: Faisceau, באנגלית: Sheaf) היא אמצעי המאפשר לרכז מידע על תכונות מקומיות של מרחב, כדי להשוות אותן לתכונות הגלובליות שלו. האלומה ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ מוגדרת על מרחב טופולוגי X, ומתאימה לכל קבוצה פתוחה U מידע כלשהו ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ (המידע יכול להיות קבוצה, חבורה, חוג, מודול או אלגברה). האקסיומות שאלומה נדרשת לקיים מבטיחות שהמידע המקומי יהיה מאורגן באופן רציף.

לעיתים קרובות האלומה מתארת מבנים גאומטריים המוגדרים על קבוצות קטנות יחסית של המרחב, כגון פונקציות רציפות, תבניות דיפרנציאליות וכן הלאה. מקורו של הסימון המקובל, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, הוא המלה הצרפתית לאלומה - Faisceau.

האלומות הופיעו במתמטיקה לראשונה בהקשר של המשכה אנליטית של פונקציות מרוכבות, ובהמשך הפכו לאבן יסוד בפיתוחה של הגאומטריה האלגברית המודרנית; האובייקטים הבסיסיים של הגאומטריה האלגברית המודרנית (סכמות) מוגדרים בשפה של אלומות. אלומות שימושיות במיוחד בגאומטריה (במיוחד גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית) ובטופולוגיה.

אלומה היא "קדם אלומה" המקיימת את אקסיומת ההדבקה (שתוגדר להלן), ולפיכך נפתח בהגדרה של קדם אלומה. ההגדרה תעסוק באלומה של חוגים. אלומות של מבנים אלגבריים אחרים מוגדרות בצורה אנלוגית.

בשפה של תורת הקטגוריות, קדם אלומה היא פונקטור קונטרה-וארינטי מהקטגוריה של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי (עם העתקות השיכון), לקטגוריה של חוגים (עם המורפיזמים הרגילים). פירושו של דבר הוא שקדם אלומה היא פונקציה ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, המתאימה לכל קבוצה פתוחה U במרחב טופולוגי X חוג ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}(U)}$, באופן שמתקימות ארבע אקסיומות:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )=\{0\}}$;
2. אם ${\displaystyle V\subseteq U}$ קבוצות פתוחות, אז קיים הומומורפיזם של חוגים ${\displaystyle {\mbox{res}}_{U,V}:{\mathcal {F}}(U)\mapsto {\mathcal {F}}(V)}$, הנקרא הומומורפיזם הצמצום;
3. לכל קבוצה פתוחה U מתקיים ${\displaystyle {{\mbox{res}}_{U,U}}=1_{{\mathcal {F}}(U)}\,}$;
4. אם ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq W}$ קבוצות פתוחות ב-X אז מתקיים ${\displaystyle \,\mathrm {res} _{V,U}\circ \mathrm {res} _{W,V}=\mathrm {res} _{W,U}}$. כלומר: הצמצום מ-W ל-V ואז ל-U, מביא לאותה תוצאה כמו הצמצום מ-W ישירות ל-U.

בהינתן קבוצות פתוחות ${\displaystyle \,V\subseteq U}$, ואיבר ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$, את הצמצום של ${\displaystyle f}$ מ-U ל-V מסמנים ב- ${\displaystyle \,f|_{V}}$ (בדומה לסימון של צמצום התחום של פונקציה).

תהי ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ משפחה של קבוצות פתוחות ב-X. ונניח שלכל אינדקס i נתון אובייקט ${\displaystyle \ f_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})}$. לכל זוג אינדקסים i,j נסמן ${\displaystyle \ U_{i,j}=U_{i}\cap U_{j}}$. נניח שלכל i ו-j מתקיים ${\displaystyle \ {\mbox{res}}_{U_{i},U_{i,j}}(f_{i})={\mbox{res}}_{U_{j},U_{i,j}}(f_{j})}$, כלומר: הצמצומים של f_i ו-f_j מזדהים על החיתוך. במקרה זה, אקסיומת ההדבקה דורשת את קיומו של "אובייקט גלובלי" יחיד ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$, כאשר ${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ולכל i מתקיים ${\displaystyle {\mbox{res}}_{U,U_{i}}(f)=f_{i}}$

קדם אלומה ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ המקיימת את אקסיומת ההדבקה היא אלומה.

בהינתן קבוצה פתוחה ${\displaystyle U\subseteq X}$, איבר ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ נקרא חתך מעל U. חתך מעל X (כלומר, איבר ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(X)}$) נקרא חתך גלובלי.

1. בהינתן מרחב טופולוגי X, הפונקציה המתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף הפונקציות הרציפות מ-U לקבוצת המספרים הממשיים מהווה אלומה. פעולות החוג הן פעולות כפל וחיבור נקודתיות, והעתקות הצמצום הן צמצום התחום של פונקציה, במובן (המתמטי) הרגיל של המילה. מאנליזה ידוע כי ניתן להדביק פונקציות רציפות המזדהות על החיתוכים, ולכן אוסף הפונקציות הרציפות על כל קבוצה פתוחה מהווה אלומה.
2. בהינתן יריעה דיפרנציאלית X, הפונקציה המתאימה לכל קבוצה פתוחה את אוסף הפונקציות החלקות עליה מהווה גם היא אלומה.
3. באופן דומה, בהינתן יריעה אנליטית X, ניתן להגדיר את אלומת הפונקציות האנליטיות על X.
4. בהינתן יריעה X ואגד וקטורי E מעל X, הפונקציה שמתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף החתכים של E מעל U היא אלומה.
5. בהינתן מרחב טופולוגי X וחוג R, אוסף כל הפונקציות מקבוצה פתוחה U לR מהווה אלומה. גם במקרה זה, הומומורפיזמי הצמצום הם פשוט צמצום התחום של פונקציה נתונה.
6. האלומה הקבועה: יהי X מרחב טופולוגי ו-R חוג. לכל קבוצה פתוחה U ב-X נתאים את אוסף הפונקציות מ-U ל-R אשר קבועות על כל רכיב קשירות של U. הומומורפיזמי הצמצום יהיו שוב צמצום של פונקציות. נשים לב שאם U תת-קבוצה קשירה אז החוג המתאים לה איזומורפי ל-R. אלומה זאת נקראת האלומה הקבועה R, ונהוג לסמנה באותו סימון כמו החוג - R.

יהיו X מרחב טופולוגי, x נקודה ב-X, ו${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ אלומה על X. ברצוננו להגדיר חוג אשר יבטא את התכונות של האלומה ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ בקרבת הנקודה x. על מנת לעשות זאת באופן מדויק, נגדיר חוג אשר יקרא הנבט (Stalk) של ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ב x ויסומן ב${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$. הנבט של ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ב-x הוא הגבול הישר של מערכת החוגים ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$, עם ההומומורפיזמים של צמצום, כאשר עוברים על כל הקבוצות הפתוחות U המכילות את x. באופן קונקרטי, איברי החוג הם מחלקות שקילות של זוגות מהצורה ${\displaystyle (s,U)}$, כאשר U קבוצה פתוחה של X המכילה את x ו ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$; שני זוגות ${\displaystyle (s,U)}$ ו- ${\displaystyle (t,V)}$ הם שקולים זה לזה אם קיימת קבוצה פתוחה ${\displaystyle \ W\subseteq U,V}$ המכילה את x, כך שהצמצום של s ל-W שווה לצמצום של t ל-W. בהינתן שתי מחלקות שקילות ${\displaystyle \ (s,U)}$ ו- ${\displaystyle \ (t,V)}$, נגדיר את הסכום שלהן לפי הנוסחה ${\displaystyle \ (s,U)+(t,V)=(s+t,U\cap V)}$ (כאשר מצמצמים את s+t לחיתוך). כפל יוגדר בצורה אנלוגית, ובאופן זה נקבל חוג הקרוי הנבט של ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ב-x.

בדרך כלל הנבט של אלומה מכיל אך ורק מידע מקומי. כך למשל הדבר במקרה של אלומת הפונקציות החלקות על יריעה דיפרנציאלית. אך לעיתים קורה שהנבט מכיל מידע שאינו בהכרח מקומי. לדוגמה, מאחר שפונקציה אנליטית בקבוצה פשוטת קשר נקבעת ביחידות על ידי הנבט שלה, הרי שהנבט של אלומת הפונקציות האנליטיות על יריעה אנליטית מכילה מידע רב שאינו מקומי.

בהינתן שתי אלומות ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ו- ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ על מרחב טופולוגי X, הומומורפיזם ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}}$ הוא כלל המתאים לכל קבוצה פתוחה U ב-X הומומורפיזם ${\displaystyle \phi (U):{\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U)}$ כך שהומומורפיזמים אלו מתחלפים עם העתקות הצמצום של ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ו- ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. במילים אחרות, בהינתן 2 קבוצות פתוחות ${\displaystyle U\subseteq V}$ ב-X, הדיאגרמה הבאה דיאגרמה קומוטטיבית:

לכל נקודה x בX הומומורפיזם של אלומות משרה הומומורפיזם מתאים של הנבטים ${\displaystyle \phi _{x}:{\mathcal {G}}_{x}\mapsto {\mathcal {F}}_{x}}$. בשפה של תורת הקטגוריות, זוהי העתקה טבעית בין פונקטורים.

נאמר שמורפיזם של אלומות ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\mapsto {\mathcal {F}}}$ הוא חד-חד-ערכי אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U המכילה את x קיימת קבוצה פתוחה ${\displaystyle V\subseteq U}$ המכילה את x כך ש ${\displaystyle \,\phi (V)}$ היא פונקציה חד חד ערכית. ניתן להוכיח שדרישה זו שקולה לכך שלכל קבוצה פתוחה U, הפונקציה ${\displaystyle \,\phi (U)}$ היא חד חד ערכית.

נאמר שמורפיזם של אלומות ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\mapsto {\mathcal {F}}}$ הוא על אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U קיימת קבוצה פתוחה ${\displaystyle V\subseteq U}$ המכילה את x כך ש ${\displaystyle \,\phi (V)}$ היא פונקציה על. אזהרה: במקרה זה אין זה נכון שדרישה זו שקולה לכך שתנאי זה יתקיים לכל קבוצה פתוחה U. במילים אחרות, פונקטור החתכים הגלובליים מדויק משמאל, אך אינו מדויק. את ההבדל מודד הפונקטור הנגזר של פונקטור החתכים הגלובליים, קוהומולוגיה של אלומות.

הומומורפיזם של אלומות שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על יקרא איזומורפיזם. אם ${\displaystyle \phi }$ הוא איזומורפיזם של אלומות, קל לראות שההומומורפיזם שהוא משרה על הנבטים ${\displaystyle \phi _{x}:{\mathcal {G}}_{x}\mapsto {\mathcal {F}}_{x}}$ הוא איזומורפיזם לכל x.

בהינתן אלומה ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ של חוגים על מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$, נאמר כי אלומה של חבורות אבליות ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ על ${\displaystyle X}$ מהווה מודול מעל ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ אם לכל קבוצה פתוחה ${\displaystyle U}$, החוג ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)}$ פועל על החבורה האבלית ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$ (באופן שהופך אותה למודול) כך שהפעולה מתואמת עם מורפיזמי הצמצום (בשתי האלומות).

נביא כעת דוגמה קלאסית מגאומטריה אלגברית: בהינתן תחום שלמות A (נוצר סופית, מעל שדה סגור אלגברית, נאמר, k) המוצג כמנה של חוג הפולינומים מעל k באידיאל I, ניתן להתבונן בספקטרום, שהוא תת-יריעה המרחב של המרחב האפיני מעל k של כל הנקודות שמאפסות כל אבר ב-I. על הספקטרום ניתן להגדיר טופולוגיה (טופולוגית זריצקי) וגם אלומת מבנה ההופכת אותו למרחב מחויג (מקומית): לכל קבוצה פתוחה U, נתאים כחוג את המיקום של A בכל האיברים שמתאפסים על המשלים של U. לפי משפט של סר, קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה שקולה למנה של קטגוריית ה-A-מודולים.

ניתן לחזור על הבנייה שתוארה כאן במקרה הפרויקטיבי, כלומר אם I אידיאל הומוגני ניתן להתבונן בספקטרום הפרויקטיבי ולפעול באופן דומה. גם במקרה זה, לפי משפט של סר, קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה שקולה למנה של קטגוריית ה-A-מודולים המדורגים מודולו קטגוריית הגבולות הישרים של A-מודולים מדורגים נוצרים סופית.

בגאומטריה לא קומוטטיבית לעיתים לא ניתן להגדיר מרחב טופולוגי שמיצג את המרחב הלא קומוטטיבי הנדון. על אחת כמה וכמה לא ניתן להגדיר אלומות מעליו. אולם ניתן להגדיר קטגוריה שתחליף את קטגוריית האלומות ותייצג את המרחב הלא קומוטטיבי.

למשל, ניתן להגדיר את הספקטרום הפרויקטיבי של חוג לא קומוטטיבי A, המקיים דרישות מסוימות (זוהי סכמה לא קומוטטיבית) כקטגוריית המנה שתוארה לעיל. כשממד גלפנד-קירילוב של החוג A הוא 2, יש מעין מיון של הסכמות הלא קומוטטיביות המתקבלות באופן זה, שניתן לראות בהן עקומים פרויקטיביים לא קומוטטיביים. המיון, שנעשה בידי מייקל ארטין וטובי סטפורד קובע שכל עקום כזה שקול בירציונלית (ניתן להגדיר אנלוגיה לשדה הפונקציות הרציונליות באמצעות שברים של איברים הומוגניים מאותה דרגה מתוך A; או אז שקילות בירציונלית פירושה איזומורפיזם של שדות הפונקציות הרציונליות) לעקום קומוטטיבי.

אלומה חופשית באופן מקומי היא אלומה ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}}$ על מרחב מחויג X כך שלכל נקודה ${\displaystyle \,p\in X}$ קיימת סביבה U כך שהאלומה המצומצמת ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}|_{U}}$ היא חופשית כ${\displaystyle \,{\mathcal {O}}_{X}}$-מודול, כאשר ${\displaystyle \,{\mathcal {O}}_{X}}$ היא אלומת המבנה של X.

• Algebraic curves and Riemann Surfaces - Rick Miranda, AMS press 1995

• אלומה, באתר MathWorld (באנגלית)