מרכז (אלגברה)

באלגברה, המרכז של מבנה אלגברי הוא תת-מבנה, הכולל את האיברים המתחלפים עם כל האיברים במבנה. מקובל לסמן את המרכז של מבנה G באות ${\displaystyle \,Z(G)}$, מן המלה הגרמנית Zentrum, או בצירוף ${\displaystyle \ {\mbox{Cent}}(G)}$. באופן הזה מתקבל תת-מבנה שהוא קומוטטיבי בפני עצמו ומשתלב באופן פשוט יחסית עם המבנה המקורי, וכך אפשר להכניס כלים המתאימים לסיטואציה קומוטטיבית, גם כאשר המבנה שאותו חוקרים אינו כזה.

בדרך כלל המרכז כולל את האיברים a המקיימים את התנאי ax=xa לכל x; זוהי ההגדרה עבור חבורות ועבור חוגים. ההבדל העיקרי בין שני המקרים אינו בהגדרה, אלא בתכונות הבסיסיות, המובילות לתפקידים השונים שיש למרכז בתורת החבורות ובתורת החוגים. המרכז של חבורה הוא תמיד תת-חבורה נורמלית, אך הוא עשוי להיות טריוויאלי. מאידך, המרכז של חוג כמעט תמיד אינו אידיאל, אבל הוא כולל לפחות את תת-החוג הנוצר על ידי היחידה (כאשר מדובר בחוג עם יחידה).

באלגברות לי ההגדרה שונה, ומתאימה למרכז של האלגברה העוטפת: ${\displaystyle \ Z(L)=\{a\in L:[a,x]=0\ \forall x\in L\}}$. שלא כמו במקרה האסוציאטיבי, המרכז הוא אידיאל של האלגברה L.

במבנים לא אסוציאטיביים, ובפרט באלגברות לא אסוציאטיביות, המרכז כולל רק איברים בגרעין, היינו איברים a שעבורם האסוציאטור מקיים ${\displaystyle \ (a,x,y)=(x,a,y)=(x,y,a)=0}$ לכל x ו- y, ובנוסף שהם מתחלפים עם כל איבר באלגברה.