Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены [1] для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой[2], требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.
У бидуги зависимость кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью[3].
На рис. 1 показаны шесть бидуг . Точки и — начальная и конечная точки кривой, (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.
Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.
Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.
У кривых 1, 2 и 6 точка является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на - у кривой 6).
Кривые помещены в систему координат хорды длины , в которой координаты начальной и конечной точек равны .
Ориентированные углы наклонов касательных в точках и , измеренные относительно направления хорды , обозначены и . Так, у бидуги 1 на рис. 1 , а у бидуг 2-6 — .
Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.
Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи[4]. Параметр семейства обозначен . Обозначение бидуги в виде подразумевает фиксацию констант, то есть .
Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар
Точки сопряжения двух дуг расположены на окружности
Эта окружность выходит из точки под углом и проходит через точку При (то есть при ) это прямая (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом .
Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть , где
Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, реализуется при точка при этом лежит на оси ординат
В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.
Бидуга : при точка сопряжения бидуги стремится к точке , часть исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
Бидуга : стремление влечёт , часть исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
Бидуга , где
представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда , а неравенства (1) исключают одновременное равенство . На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.
С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами и проходит единственная бидуга . Именно, через точку проходит бидуга с параметром
Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами и (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна . ГМТ (2) есть биссектриса линзы.
Бидуги подсемейства имеют противоположный (по отношению к ) характер монотонности кривизны. Если и , то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга отграничивает друг от друга бидуги подсемейств .
Подсемейство пусто, если
Подсемейство пусто, если
Переопределение граничных угловв кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы , и значения на концах могут отличаться от на Определим, наряду с , кумулятивные версии граничных углов в виде , с учётом непрерывности Поправка к углу вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки то есть пересекает луч ; поправка к углу вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):
в подсемействе : ;
в подсемействе : ;
в подсемействе : .
Тогда полный поворот бидуги равен
а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству
Nutbourne, A. W.; Martin, R. R. Differential geometry applied to curve and surface design. Vol.1: Foundations (англ.). — Ellis Horwood, 1988. — ISBN 013211822X.