Спираль

Согласно Математической энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые «обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от неё». Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет «спираль», то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.

Один из вариантов строгого определения, предполагающий монотонность полярного уравнения кривой, не универсален: выбрав другой полюс, можно нарушить имеющуюся монотонность, и только из-за этого кривая «перестанет быть спиралью», при том, что сама она не изменилась. У спирали Котеса^[англ.] полярное уравнение немонотонно, а спираль Корню имеет два полюса и поэтому не описывается целиком в полярных координатах.

Формальное определение спирали, основанное на монотонности кривизны, принято в монографии^[1] (глава 3-3, Spiral Arcs). При этом требуется непрерывность кривизны ${\displaystyle k(s)}$ как функции длины дуги кривой, и рассматриваются только выпуклые кривые^[2]. Спиралью в этом смысле является четвертинка эллипса (между двумя соседними вершинами). Интерес к таким кривым был во многом связан с теоремой о четырёх вершинах овала, утверждающей (в терминах обсуждаемого определения), что простая замкнутая кривая с непрерывной кривизной состоит как минимум из четырёх спиральных дуг.

Именно такие определения, с теми или иными уточнениями о выпуклости, строгой/нестрогой монотонности, непрерывности и знакопостоянстве кривизны, ограничениями на полный поворот кривой, используются в приложениях из области автоматизированного проектирования. Основные приложения связаны с конструированием скоростных дорог, в частности, построением переходных кривых, обеспечивающих постепенное изменение кривизны вдоль пути.

Более общее определение, не требующее знакопостоянства и непрерывности кривизны, а лишь её монотонности, принято в статье^[3]. В рамках этого определения свойство кривой быть спиралью инвариантно относительно дробно-линейных отображений кривой.

• Теорема Фогта
• Бидуга

Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (кривизна не строго монотонна, а является константой).

Некоторые из наиболее важных типов двумерных спиралей:

• Архимедова спираль:

  ${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta }$;

• Спираль Феодора: приближение к архимедовой спирали, состоящее из смежных прямоугольных треугольников
• Спираль Ферма:

  ${\displaystyle r(\theta )=\theta ^{\frac {1}{2}}}$; имеет вершину при ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2{\sqrt {7}}-5}}}$.

• Гиперболическая спираль:

  ${\displaystyle r(\theta )={\frac {a}{\theta }}}$;

• Жезл: ${\displaystyle r=\theta ^{-1/2}}$
• Логарифмическая спираль, чья приблизительная форма встречается в природе:

  ${\displaystyle r(\theta )=ae^{b\theta }}$;

• Спираль Фибоначчи и золотая спираль, представляющая собой частный случай логарифмической спирали
• Спираль Корню или эйлерова спираль, или клотоида: ${\displaystyle k(s)=\pm {\frac {s}{a^{2}}}}$.

• 
  Архимедова спираль
• 
  Спираль Корню
• 
  Спираль Ферма
• 
  Гиперболическая спираль
• 
  Кривая жезл (lituus)
• 
  Логарифмическая спираль
• 
  Спираль Феодора
• 
  Спираль Фибоначчи (Золотая спираль)
• 
  Инволюта круга (черная) не совпадает с архимедовой спиралью (красная).

Как и в двумерном случае, r — непрерывную монотонную функцию от θ.

Для простых трёхмерных спиралей третья переменная h — также непрерывная монотонная функция от θ. Например, коническая винтовая линия может быть определена как спираль на конической поверхности с расстоянием от вершины как экспоненциальной функцией от θ.

Для сложных трёхмерных спиралей, как, например, сферическая спираль, h возрастает с ростом θ с одной стороны от точки и убывает — с другой.

Сферическая спираль (локсодрома) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.

• Раковина у брюхоногих
• Цитоскелет эукариот
• Спираль в балансе механических часов, спиральная пружина в электроизмерительном механизме стрелочного измерительного прибора
• Спиральная заводная пружина в механических часах и в заводных игрушках
• Циклон, Антициклон
• Спиральные галактики
• Коллаген — Фибриллярный белок с правозакрученной спиралью
• Рулон
• ДНК
• Распределение семян в подсолнечнике и других растениях семейства сложноцветные
• Вихрь
• Смерч-вихрь
• Кадуцей
• Омут
• Водоворот
• Аммониты (головоногие)
• Рога
• Романеско (капуста)

• Геликоид
• Синусоидальная спираль

• Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195—206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461—476 [1] (недоступная ссылка).
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237—246 [2].
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [3].
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515—527 [4].
• A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262—280, 2010 [5].
• A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474—481, 2010.
• Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1-4), 457—464 [6].
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166—171 [7].
• Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69-78 [8].
• Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573—581 [9].
• Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601—606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896—905 [10].
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9-10), 477—486 [11].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129—140 [12].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591—596 [13].
• Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510—518, 2012 [14].
• Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227—1232 [15].