Суперформула (уравнение)

Суперформула является обобщением суперэллипса и впервые была выведена Йоханом Гиелисом в 2003 году.^[1] Гиелис предположил использовать формулу для описания сложных форм и кривых, которые встречаются в природе.

В полярной системе координат с радиусом ${\displaystyle r}$ и углом ${\displaystyle \varphi }$ суперформула выглядит так:

${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}.}$

Выбирая различные значения параметров ${\displaystyle a,b,m,n_{1},n_{2},n_{3}}$, получаются различные формы.

Формула получена путём обобщения суперэллипса, который, в свою очередь, был выведен французским математиком Габриелем Ламе, а назван и популяризирован датским математиком Питом Хейном.

Суперформулу можно обобщить, заменив параметр m двумя новыми параметрами y и z:^[2]

${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {y\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {z\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}}$

Это позволяет создавать асимметричные и вложенные структуры. В следующих примерах ${\displaystyle a,b,n_{2}}$ и ${\displaystyle {n_{3}}}$ равны 1:

Пример программы в GNU Octave для генерации этих фигур:

  function sf2d(n,a)     u=[0:.001:2*pi];     raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4);     r=abs(raux).^(-1/n(2));     x=r.*cos(u);     y=r.*sin(u);     plot(x,y);   end 

3 мерная суперформула: a = b = 1; m, n₁, n₂ И n₃ , показаны на изображениях.

Пример программы в GNU Octave для генерации этих фигур:

 function sf3d(n, a)   u=[-pi:.05:pi];   v=[-pi/2:.05:pi/2];   nu=length(u);   nv=length(v);     for i=1:nu     for j=1:nv       raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4);       r1=abs(raux1).^(-1/n(2));       raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4);       r2=abs(raux2).^(-1/n(2));       x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j));       y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j));       z(i,j)=r2*sin(v(j));     endfor;   endfor;   mesh(x,y,z);  endfunction; 

• Сайт о суперформуле и её создателе Джоне Гиелисе http://genicap.com/