Счастливое число (lucky number)

Счастли́вое число́ (англ. lucky number) в теории чисел  — натуральное число из множества, генерируемого «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа.

Процесс начинается с полного списка натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, … 

Каждое второе число (все чётные числа) исключается, остается только нечётные числа:

1,    3,    5,    7,    9,   11,   13,   15,   17,   19,   21,   23,   25,    

Второй член в этой последовательности — число 3. Каждое третье число, которое остаётся в списке, исключается:

1,    3,          7,    9,         13,   15,         19,   21,         25, 

Теперь третье оставшееся число — 7, поэтому каждый седьмой номер, который остался, исключается:

1,    3,          7,    9,         13,   15,               21,         25, 

Процедура постоянно повторяется; остающиеся числа — и есть счастливые числа:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303, 307, 319, 321, 327, 331, 339, 349, 357, 361, 367, 385, 391, 393, 399, 409, 415, 421, 427, 429, 433, 451, 463, 475, 477, 483, 487, 489, 495, 511, 517, 519, 529, 535, 537, 541, 553, 559, 577, 579, 583, 591, 601, 613, 615, 619, 621, 631, 639, 643, 645, 651, 655, 673, 679, 685, 693, 699, 717, 723, 727, 729, 735, 739, 741, 745, 769, 777, … (последовательность A000959 в OEIS).

В 1955 году термин был предложен в работе Гардинера, Лазаруса, Метрополиса и Улама. Также они предложили назвать это решето решетом Иосифа Флавия^[1] из-за его схожести с задачей Иосифа Флавия.

Счастливые числа по многим свойствам близки к простым числам^[2]. Например, их асимптотическая плотность равна ${\displaystyle {\dfrac {1}{\ln {n}}},}$ то есть совпадает с асимптотической плотностью простых чисел; счастливые числа-близнецы и простые числа-близнецы также появляются с близкой частотой. Пары счастливых чисел, отличающихся на 4, 6, 8 и т. д., появляются с частотой, близкой к частоте соответствующих пар простых чисел. На счастливые числа может быть распространена версия проблемы Гольдбаха^[2]. Существует бесконечное множество счастливых чисел. Из-за этих очевидных связей с простыми числами некоторые математики предположили, что эти свойства могут быть найдены в более широком классе множеств этих чисел, сгенерированных решетом неизвестного вида, хотя теоретические основания для этой гипотезы малы.

Счастливое простое число — это счастливое число, которое является простым. Неизвестно, бесконечно ли множество счастливых простых чисел. Первые числа этой последовательности:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, … (последовательность A031157 в OEIS).

• С. Улам. Нерешённые математические задачи = A Collection of Mathematical Problems / Перевод с английского З. Я. Шапиро. — М.: Наука, 1964. — 168 с. — (Современные проблемы математики).

• Peterson, Ivars. MathTrek: Martin Gardner’s Lucky Number Архивная копия от 2 октября 2012 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Lucky Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Lucky Numbers by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.