Шар Поверхность шара — сфера r — радиус шара Шар — геометрическое тело ; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии , не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара . Шар образуется вращением полукруга (или круга ) вокруг его неподвижного диаметра . Этот диаметр называется осью шара , а оба конца указанного диаметра — полюсами шара . Поверхность шара называется сферой : замкнутый шар включает эту сферу , открытый шар — исключает.
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом . Другие плоские сечения шара называются малыми кругами . Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².
Площадь поверхности S {\displaystyle S} и объём V {\displaystyle V} шара радиуса r {\displaystyle r} (и диаметром d = 2 r {\displaystyle d=2r} ) определяются формулами:
S = 4 π r 2 {\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}} S = π d 2 {\displaystyle S=\ \pi d^{2}} V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке ( 0 ; 0 ) {\displaystyle \left(0;0\right)} . Уравнение окружности этого круга : x 2 + y 2 = R 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}} , откуда y 2 = R 2 − x 2 {\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}} .
Функция y = R 2 − x 2 , x ∈ ( 0 ; R ) {\displaystyle y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)} непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:
1 2 V = π ∫ 0 R ( R 2 − x 2 ) d x = π ⋅ ( R 2 x − x 3 3 ) | 0 R = π ⋅ ( R 3 − R 3 3 ) = 2 3 π R 3 {\displaystyle {1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}
Откуда V = 4 3 π R 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}} Ч. т. д.
V = π d 3 6 {\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}} d = 2 r , V = 4 3 π r 3 = 4 3 π ( d 2 ) 3 = 4 3 π d 3 8 = π d 3 6 {\displaystyle d=2r,V={4 \over 3}\pi r^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}} Ч. т. д.
Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии .
Пусть дано метрическое пространство ( X , ρ ) {\displaystyle (X,\rho )} . Тогда
Шаром (или открытым шаром ) с центром в точке x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} и радиусом r > 0 {\displaystyle r>0} называется множество B r ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ ρ ( x , x 0 ) < r } . {\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.} Замкнутым шаром с центром в x 0 {\displaystyle x_{0}} и радиусом r {\displaystyle r} называется множество D r ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ ρ ( x , x 0 ) ⩽ r } . {\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.} Шар радиуса r {\displaystyle r} с центром x 0 {\displaystyle x_{0}} также называют r {\displaystyle r} -окрестностью точки x 0 {\displaystyle x_{0}} .
Шар является открытым множеством в топологии , порождённой метрикой ρ {\displaystyle \rho } . Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии , порождённой метрикой ρ {\displaystyle \rho } . По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X {\displaystyle X} являют собой её базу . Очевидно, B r ( x 0 ) ⊂ D r ( x 0 ) {\displaystyle B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})} . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: B r ( x 0 ) ¯ ≠ D r ( x 0 ) . {\displaystyle {\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).} Например: пусть ( X , ρ ) {\displaystyle (X,\rho )} — дискретное метрическое пространство , и X {\displaystyle X} состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого x ∈ X {\displaystyle x\in X} имеем: B 1 ( x ) = { x } , B 1 ( x ) ¯ = { x } , D 1 ( x ) = X . {\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.} Объём n-мерного шара радиуса R в n -мерном евклидовом пространстве:[1]
V n ( R ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n , {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},} где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел ). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:
V 2 k ( R ) = π k k ! R 2 k {\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}} , V 2 k + 1 ( R ) = 2 k + 1 π k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 {\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}} . Знаком !! здесь обозначен двойной факториал .
Эти формулы также можно свести в одну общую:
V n ( R ) = 2 [ n + 1 2 ] π [ n 2 ] n ! ! R n {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}}{n!!}}R^{n}} . Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:
R n ( V ) = Γ ( n / 2 + 1 ) 1 / n π V 1 / n {\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}} . Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:
R 2 k ( V ) = ( k ! V ) 1 / 2 k π {\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k}}{\sqrt {\pi }}}} , R 2 k + 1 ( V ) = ( ( 2 k + 1 ) ! ! V 2 k + 1 π k ) 1 / ( 2 k + 1 ) {\displaystyle R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}} . Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции . Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n -мерного шара через объём шара размерности n − 2 {\displaystyle n-2} (при условии, что они имеют одинаковый радиус):
V n ( R ) = 2 π R 2 n V n − 2 ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)} . Также существует формула объёма n -мерного шара в зависимости от объёма (n −1)-мерного шара того же радиуса:
V n ( R ) = R π Γ ( n + 1 2 ) Γ ( n 2 + 1 ) V n − 1 ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)} . То же без гамма-функции:
V 2 k ( R ) = R π ( 2 k − 1 ) ! ! 2 k k ! V 2 k − 1 ( R ) = R π ( 2 k − 1 ) ( 2 k − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 ( 2 k ) ( 2 k − 2 ) ⋯ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 V 2 k − 1 ( R ) , V 2 k + 1 ( R ) = 2 R 2 k k ! ( 2 k + 1 ) ! ! V 2 k ( R ) = 2 R ( 2 k ) ( 2 k − 2 ) ⋯ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 ( 2 k + 1 ) ( 2 k − 1 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 V 2 k ( R ) . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}} Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:
Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V 1 2 R {\displaystyle 2R} V / 2 {\displaystyle V/2} 2 π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} V 1 / 2 π {\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}} 3 4 π 3 R 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}} ( 3 V 4 π ) 1 / 3 {\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}} 4 π 2 2 R 4 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}} ( 2 V ) 1 / 4 π {\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}} 5 8 π 2 15 R 5 {\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}} ( 15 V 8 π 2 ) 1 / 5 {\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}} 6 π 3 6 R 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}} ( 6 V ) 1 / 6 π {\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}} 7 16 π 3 105 R 7 {\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}} ( 105 V 16 π 3 ) 1 / 7 {\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}} 8 π 4 24 R 8 {\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}} ( 24 V ) 1 / 8 π {\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}} 9 32 π 4 945 R 9 {\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}} ( 945 V 32 π 4 ) 1 / 9 {\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}} 10 π 5 120 R 10 {\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}} ( 120 V ) 1 / 10 π {\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}}
Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n. При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.
если d = 1 {\displaystyle d=1} (пространство — прямая ), то B r ( x 0 ) = { x ∈ R ∣ | x − x 0 | < r } = ( x 0 − r , x 0 + r ) , {\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),} D r ( x 0 ) = { x ∈ R ∣ | x − x 0 | ≤ r } = [ x 0 − r , x 0 + r ] . {\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].} — открытый и замкнутый отрезок соответственно. если d = 2 {\displaystyle d=2} (пространство — плоскость ), то B r ( ( x 0 , y 0 ) ) = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < r } , {\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},} D r ( ( x 0 , y 0 ) ) = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ≤ r } {\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}} — открытый и замкнутый диск соответственно. если d = 3 {\displaystyle d=3} , то B r ( ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 < r } , {\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},} D r ( ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 ≤ r } {\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}} — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно. В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} метрику следующим образом: ρ ( x , y ) = ∑ i = 1 d ‖ x i − y i ‖ , x = ( x 1 , … , x d ) ⊤ , y = ( y 1 , … , y d ) ⊤ ∈ R d . {\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.} Тогда если d = 2 {\displaystyle d=2} , то U r ( x 0 ) {\displaystyle U_{r}(x_{0})} — это открытый квадрат с центром в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} и сторонами длины 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , расположенными по диагонали к координатным осям. если d = 3 {\displaystyle d=3} , то U r ( x 0 ) {\displaystyle U_{r}(x_{0})} — это открытый трёхмерный октаэдр .