نظام الإحداثيات الإهليلجية

في الهندسة الرياضية، نظام الإحداثيات الإهليلجية هو نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد تكون فية خطوط الإحداثيات إهليلجية متّحدة البؤر ووقطوع زائدة .^[1] بؤرتا القطع الناقص ${\displaystyle F_{1}}$ و${\displaystyle F_{2}}$ إجْمالاً تستخرج لتكون ثابتة في ${\displaystyle -a}$ و ${\displaystyle +a}$ على التوالي، على ${\displaystyle x}$ محور نظام الإحداثيات الديكارتية.

التعريف الأساسي[عدل]

التعريف الأكثر شيوعًا للإحداثيات الإهليلجية ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ هو

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

${\displaystyle \mu }$ هو رقم حقيقي غير سالب و ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ]}$. على المستوي المركب، والعلاقة المكافئة هي

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

هذه التعاريف مع تتوافق القطع الناقص والقطع الزائد . التطابق المثلثي

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

يدل على منحنيات ثابتة ${\displaystyle \mu }$ من القطوع الناقصة في حين أن المنحنى زائدي المقطع متطابق

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

يدل على منحنيات ثابتة ${\displaystyle \nu }$ من القطوع الزائدة .

عوامل القياس[عدل]

في الإحداثيات المتعامدة تعرف أطوا متجهات القواعد بعوامل القياس. وعوامل قياس الإحداثيات الإهليلجية ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ تساوي:

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

استخدام متغير الدوال الزائدية والدوال المثلثية، يمكن التعبير عن عوامل القياس بالتساوي كالتالي

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

وبالتالي، العنصر الا متناهي الصغر للمسساحة يساوي

${\displaystyle dA=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu }$

ودالة لابلاس تفسر

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).}$

العوامل التفاضلية الأخرى مثل ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ و ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ يمكن التعبير عنها في الإحداثيات ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ عن طريق الاستعاضة عنها بعوامل القياس في الصيغة العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة.

مراجع[عدل]

• بوابة علم الفلك
• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية