Simetría icosaédrica

Grupos de puntos en tres dimensiones

Simetría involutiva Cs, (*) [ ] =	Simetría cíclica Cnv, (*nn) [n] =	Simetría diédrica Dnh, (*n22) [n,2] =
Grupo poliédrico, [n,3], (*n32)
Simetría tetraédrica Td, (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica Oh, (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica Ih, (*532) [5,3] =

La simetría icosaédrica^[1]​ (también denominada simetría icosaedral o simetría del icosaedro) es el conjunto de propiedades reflexivas de aquellas figuras del espacio tridimensional que poseen las 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación, que son propias de un icosaedro regular. Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías.

El grupo de simetría completo (incluidas las reflexiones) se conoce como el grupo de Coxeter H₃, y también está representado en la notación de Coxeter por [5,3] y posee un diagrama de Coxeter-Dynkin .

El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un subgrupo que es isomorfo al grupo A₅ (el grupo alternante de 5 letras).

Como grupo de puntos[editar]

Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antipismática, la simetría icosaédrica rotacional o simetría icosaédrica quiral de objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o simetría icosaédrica aquiral son las simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera) con los grupos de simetrías más grandes.

La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría traslacional, por lo que no existen grupos de puntos cristalográficos o grupos espaciales asociados.

Schönflies	Coxeter		Orbifold	Estructura abstracta	Orden
I	[5,3]+		532	A5	60
Ih	[5,3]		*532	A5×2	120

Las presentaciones correspondientes a los grupos anteriores son:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Estos valores corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los (2,3,5) grupos triangulares.

La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano.^[2]​

Debe tenerse en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como un grupo alternante (para I).

Visualizaciones[editar]

Schoe. (Orb.)	Notación de Coxeter	Elementos	Diagramas de espejos
			Ortogonal	Proyección estereográfica
Ih (*532)	[5,3]	Líneas de espejo: 15
I (532)	[5,3]+	Puntos de giro: 125 203 302

Estructura del grupo[editar]

El grupo de rotación icosaédrico I es de orden 60. El grupo I es isomorfo a A₅, el grupo alternante de permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo se puede representar mediante I actuando sobre varios compuestos, en particular el compuesto de cinco cubos (que se inscribe en el dodecaedro), el compuesto de cinco octaedros o cualquiera de los dos compuestos de cinco tetraedros (que son quirales y se inscriben en el dodecaedro).

El grupo contiene 5 versiones de T_h con 20 versiones de D₃ (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones de D₅.

El grupo icosaédrico completo I_h tiene orden 120. Tiene a I como subgrupo normal de índice 2. El grupo I_h es isomorfo a I×Z₂, o A₅ ×Z₂, con inversión en el centro correspondiente al elemento (identidad, -1), donde Z₂ se escribe multiplicativamente.

I_h actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros, pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son centralmente simétricos). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros: I actúa sobre las dos mitades quirales (compuestos de cinco tetraedros), y −1 intercambia las dos mitades. En particular, no actúa como S₅, y estos grupos no son isomorfos; véase más abajo para más detalles. El grupo contiene 10 versiones de D_3d y 6 versiones de D_5d (simetrías como antiprismas). I también es isomorfo a PSL₂ (5), pero I_h no es isomorfo a SL₂(5).

Las aristas de un compuesto de cinco octaedros esférico representan los 15 planos de espejo como círculos máximos de colores. Cada octaedro puede representar 3 planos de espejo ortogonales por sus bordes.		La simetría piritoédrica es un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica, con 3 líneas de reflexión verdes ortogonales y 8 puntos de giro de orden 3 en rojo. Hay 5 orientaciones diferentes de simetría piritoédrica.

Isomorfismo de I con A₅[editar]

Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y A₅. En la siguiente tabla, las permutaciones P_i y _iX actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación M_i son los elementos de I. Si P_k es el producto de tomar la permutación P_i y aplicarle P_j, entonces para los mismos valores de i, j y k, también es cierto que _kX es el producto de tomar _iX y aplicar _jX, y también que premultiplicar un vector por M_k es lo mismo que premultiplicar ese vector por M_i y luego premultiplicar ese resultado con M_j, es decir, M_k = M_j × M_i. Dado que las permutaciones P_i son las 60 permutaciones pares de 12345, la correspondencia uno a uno se hace explícita, y por lo tanto, el isomorfismo también.

Matriz de rotación	Permutación de 5 sobre 1 2 3 4 5	Permutación de 12 sobre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{1}}$ = ()	${\displaystyle Q_{1}}$ = ()
${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{2}}$ = (3 4 5)	${\displaystyle Q_{2}}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{3}}$ = (3 5 4)	${\displaystyle Q_{3}}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
${\displaystyle M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{4}}$ = (2 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{4}}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
${\displaystyle M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{5}}$ = (2 3 4)	${\displaystyle Q_{5}}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
${\displaystyle M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{6}}$ = (2 3 5)	${\displaystyle Q_{6}}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
${\displaystyle M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{7}}$ = (2 4 3)	${\displaystyle Q_{7}}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
${\displaystyle M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{8}}$ = (2 4 5)	${\displaystyle Q_{8}}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
${\displaystyle M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{9}}$ = (2 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{9}}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
${\displaystyle M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{10}}$ = (2 5 3)	${\displaystyle Q_{10}}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
${\displaystyle M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{11}}$ = (2 5 4)	${\displaystyle Q_{11}}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
${\displaystyle M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{12}}$ = (2 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{12}}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
${\displaystyle M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{13}}$ = (1 2)(4 5)	${\displaystyle Q_{13}}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
${\displaystyle M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{14}}$ = (1 2)(3 4)	${\displaystyle Q_{14}}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
${\displaystyle M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{15}}$ = (1 2)(3 5)	${\displaystyle Q_{15}}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
${\displaystyle M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{16}}$ = (1 2 3)	${\displaystyle Q_{16}}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
${\displaystyle M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{17}}$ = (1 2 3 4 5)	${\displaystyle Q_{17}}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
${\displaystyle M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{18}}$ = (1 2 3 5 4)	${\displaystyle Q_{18}}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
${\displaystyle M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{19}}$ = (1 2 4 5 3)	${\displaystyle Q_{19}}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
${\displaystyle M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{20}}$ = (1 2 4)	${\displaystyle Q_{20}}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
${\displaystyle M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{21}}$ = (1 2 4 3 5)	${\displaystyle Q_{21}}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
${\displaystyle M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{22}}$ = (1 2 5 4 3)	${\displaystyle Q_{22}}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
${\displaystyle M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{23}}$ = (1 2 5)	${\displaystyle Q_{23}}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
${\displaystyle M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{24}}$ = (1 2 5 3 4)	${\displaystyle Q_{24}}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
${\displaystyle M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{25}}$ = (1 3 2)	${\displaystyle Q_{25}}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
${\displaystyle M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{26}}$ = (1 3 4 5 2)	${\displaystyle Q_{26}}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
${\displaystyle M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{27}}$ = (1 3 5 4 2)	${\displaystyle Q_{27}}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
${\displaystyle M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{28}}$ = (1 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{28}}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
${\displaystyle M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{29}}$ = (1 3 4)	${\displaystyle Q_{29}}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
${\displaystyle M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{30}}$ = (1 3 5)	${\displaystyle Q_{30}}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
${\displaystyle M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{31}}$ = (1 3)(2 4)	${\displaystyle Q_{31}}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
${\displaystyle M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{32}}$ = (1 3 2 4 5)	${\displaystyle Q_{32}}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
${\displaystyle M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{33}}$ = (1 3 5 2 4)	${\displaystyle Q_{33}}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
${\displaystyle M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{34}}$ = (1 3)(2 5)	${\displaystyle Q_{34}}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
${\displaystyle M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{35}}$ = (1 3 2 5 4)	${\displaystyle Q_{35}}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
${\displaystyle M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{36}}$ = (1 3 4 2 5)	${\displaystyle Q_{36}}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
${\displaystyle M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{37}}$ = (1 4 5 3 2)	${\displaystyle Q_{37}}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
${\displaystyle M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{38}}$ = (1 4 2)	${\displaystyle Q_{38}}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
${\displaystyle M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{39}}$ = (1 4 3 5 2)	${\displaystyle Q_{39}}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
${\displaystyle M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{40}}$ = (1 4 3)	${\displaystyle Q_{40}}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
${\displaystyle M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{41}}$ = (1 4 5)	${\displaystyle Q_{41}}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
${\displaystyle M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{42}}$ = (1 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{42}}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
${\displaystyle M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{43}}$ = (1 4 5 2 3)	${\displaystyle Q_{43}}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
${\displaystyle M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{44}}$ = (1 4)(2 3)	${\displaystyle Q_{44}}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
${\displaystyle M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{45}}$ = (1 4 2 3 5)	${\displaystyle Q_{45}}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
${\displaystyle M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{46}}$ = (1 4 2 5 3)	${\displaystyle Q_{46}}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
${\displaystyle M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{47}}$ = (1 4 3 2 5)	${\displaystyle Q_{47}}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
${\displaystyle M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{48}}$ = (1 4)(2 5)	${\displaystyle Q_{48}}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
${\displaystyle M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{49}}$ = (1 5 4 3 2)	${\displaystyle Q_{49}}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
${\displaystyle M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{50}}$ = (1 5 2)	${\displaystyle Q_{50}}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
${\displaystyle M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{51}}$ = (1 5 3 4 2)	${\displaystyle Q_{51}}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
${\displaystyle M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{52}}$ = (1 5 3)	${\displaystyle Q_{52}}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
${\displaystyle M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{53}}$ = (1 5 4)	${\displaystyle Q_{53}}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
${\displaystyle M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{54}}$ = (1 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{54}}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
${\displaystyle M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{55}}$ = (1 5 4 2 3)	${\displaystyle Q_{55}}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
${\displaystyle M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{56}}$ = (1 5)(2 3)	${\displaystyle Q_{56}}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
${\displaystyle M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{57}}$ = (1 5 2 3 4)	${\displaystyle Q_{57}}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
${\displaystyle M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{58}}$ = (1 5 2 4 3)	${\displaystyle Q_{58}}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
${\displaystyle M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{59}}$ = (1 5 3 2 4)	${\displaystyle Q_{59}}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
${\displaystyle M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{60}}$ = (1 5)(2 4)	${\displaystyle Q_{60}}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Grupos comúnmente confundidos[editar]

Los siguientes grupos tienen todos el orden 120, pero no son isomorfos:

• S₅, el grupo simétrico en 5 elementos
• I_h , el grupo icosaédrico completo (tema de este artículo, también conocido como H₃)
• 2I, el grupo icosaédrico binario

Corresponden a las siguientes sucesiones exactas cortas (la última de las cuales no se divide) y productos

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

Expresado mediante palabras,

• ${\displaystyle A_{5}}$ es un subgrupo normal de ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$ es un factor de ${\displaystyle I_{h}}$, que es un producto directo
• ${\displaystyle A_{5}}$ es un grupo cociente de ${\displaystyle 2I}$

Téngase en cuenta que ${\displaystyle A_{5}}$ tiene una representación tridimensional irreducible excepcional(como el grupo de rotación icosaédrico), pero ${\displaystyle S_{5}}$ no tiene una representación tridimensional irreducible, correspondiente al grupo icosaédrico completo que no es el grupo simétrico.

Estos elementos también pueden relacionarse con grupos lineales sobre el cuerpo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y los grupos de recubrimiento directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$ el grupo lineal proyectivo, consúltese aquí para ver una demostración;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$ el grupo lineal proyectivo;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$ el grupo lineal especial.

Clases conjugadas[editar]

Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación:

Subgrupos del grupo completo de simetría icosaédrica[editar]

Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) da el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación.

Explicación de colores: verde = los grupos que son generados por reflexión, rojo = los grupos quirales (que conservan la orientación), que contienen solo rotaciones.

Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro. La abreviatura "m.v.i. (arista)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y de manera similar para "cara" y "vértice".

Schön.	Coxeter		Orb.	H-M	Etructura	Cic.	Orden	Índice	Mult.	Descripción
Ih	[5,3]		*532	532/m	A5×Z2		120	1	1	Grupo completo
D2h	[2,2]		*222	mmm	D4×D2=D23		8	15	5	Determinando dos bordes opuestos, posiblemente intercambiándolos
C5v	[5]		*55	5m	D10		10	12	6	Fijando una cara
C3v	[3]		*33	3m	D6=S3		6	20	10	Fijando un vértice
C2v	[2]		*22	2mm	D4=D22		4	30	15	Fijando una arista
Cs	[ ]		*	2 or m	D2		2	60	15	Reflexión intercambiando dos puntos finales de una arista
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×Z2		24	5	5	Grupo piritoédrico
D5d	[2+,10]		2*5	10m2	D20=Z2×D10		20	6	6	Fijando dos caras opuestas, posiblemente intercambiándolas
D3d	[2+,6]		2*3	3m	D12=Z2×D6		12	10	10	Fijando dos vértices opuestos, posiblemente intercambiándolos
D1d = C2h	[2+,2]		2*	2/m	D4=Z2×D2		4	30	15	Media vuelta alrededor del punto medio del borde, más inversión central
S10	[2+,10+]		5×	5	Z10=Z2×Z5		10	12	6	Rotaciones de una cara, más inversión central
S6	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	20	10	Rotaciones alrededor de un vértice, más inversión central
S2	[2+,2+]		×	1	Z2		2	60	1	Inversión central
I	[5,3]+		532	532	A5		60	2	1	Todas las rotaciones
T	[3,3]+		332	332	A4		12	10	5	Rotaciones de un tetraedro contenido
D5	[2,5]+		522	522	D10		10	12	6	Rotaciones alrededor del centro de una cara y m.v.i. (cara)
D3	[2,3]+		322	322	D6=S3		6	20	10	Rotaciones alrededor de un vértice y m.v.i.(vértice)
D2	[2,2]+		222	222	D4=Z22		4	30	15	Media vuelta alrededor del punto medio de una arista, y m.v.i.(arista)
C5	[5]+		55	5	Z5		5	24	6	Rotaciones alrededor de un centro de cara
C3	[3]+		33	3	Z3=A3		3	40	10	Rotaciones alrededor de un vértice
C2	[2]+		22	2	Z2		2	60	15	Media vuelta alrededor del punto medio de la arista
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	120	1	Grupo trivial

Estabilizadores de vértices[editar]

Los estabilizadores de un par de vértices opuestos pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan.

• Los estabilizadores de vértice en I producen grupo cíclicos C₃
• Los estabilizadores de vértice en I_h producen grupos diedros D₃
• Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I producen grupos diédricos D₃
• Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I_h producen ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Estabilizadores de aristas[editar]

Los estabilizadores de un par opuesto de aristas se pueden interpretar como estabilizadores del rectángulo que generan.

• Los estabilizadores de aristas en I generan grupos cíclicos Z₂
• Los estabilizadores de aristas en I_h generan grupos de Klein ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• Los estabilizadores de un par de aristas en I generan grupos de Klein ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$; hay 5 de estos, dados por rotación de 180° en 3 ejes perpendiculares.
• Los estabilizadores de un par de aristas en I_h generan ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$; hay 5 de estos, dados por reflexiones en 3 ejes perpendiculares.

Estabilizadores de caras[editar]

Los estabilizadores de un par de caras opuestas pueden interpretarse como estabilizadores del antiprisma que generan.

• Los estabilizadores de caras en I dan grupos cíclicos C₅
• Los estabilizadores de caras en I_h dan grupos diédricos D₅
• Los estabilizadores de un par opuesto de caras en I dan grupos diédricos D₅
• Los estabilizadores de un par opuesto de caras en I_h dan ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Estabilizadores de poliedros[editar]

Para cada uno de ellos, hay 5 copias conjugadas, y la acción de conjugación da una aplicación, de hecho un isomorfismo, ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$.

• Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I son una copia de T
• Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I_h también son una copia de T
• Los estabilizadores de los cubos inscritos (o el par opuesto de tetraedros u octaedros) en I iguamente son una copia de T
• Los estabilizadores de los cubos inscritos (o el par opuesto de tetraedros u octaedros) en I_h son una copia de T_h

Generadores del grupo de Coxeter[editar]

El grupo completo de simetría icosaédrica [5,3] () de orden 120 tiene generadores representados por las matrices de reflexión R₀, R₁, R₂ que figuran a continuación, con relaciones R₀² = R₁² = R₂² = (R₀ × R₁) ⁵ = (R₁ × R₂) ³ = (R₀ × R₂) ² = Identidad. El grupo [5,3] ⁺ () de orden 60 se genera mediante dos rotaciones cualesquiera S_0,1, S_1,2, S_0,2. Un rotación impropia de orden 10 es generada por V_0,1,2, el producto de los 3 reflejos. Aquí ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ denota el número áureo.

[5,3],

	Reflexiones			Rotaciones			Rotoreflexiones
Nombre	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grupo
Orden	2	2	2	5	3	2	10
Matriz	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0)n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})}$n	(0,1,0)n	${\displaystyle (0,-1,\phi )}$axis	${\displaystyle (1-\phi ,0,\phi )}$axis	${\displaystyle (0,0,1)}$axis