Régularisation (physique)

En physique théorique, la régularisation est une procédure ad-hoc qui consiste à modifier une grandeur physique qui présente une singularité afin de la rendre régulière. La régularisation est par exemple abondamment utilisée en théorie quantique des champs en relation avec la procédure de renormalisation, ainsi qu'en relativité générale pour le calcul du problème à deux corps en paramétrisation post-newtonienne.

Exemple élémentaire

Le potentiel newtonien en coordonnées sphériques s'écrit :

$V(r)\ =\ {\frac {k}{r}}$

où k est une constante. Cette expression présente une singularité à l'origine : elle devient en effet infinie en r = 0. On peut la régulariser en introduisant une famille à un paramètre :

$V_{\epsilon }(r)\ =\ {\frac {k}{\sqrt {r^{2}+\epsilon ^{2}}}}$

Cette expression reste bien définie enr = 0, car pour tout $\epsilon >0$ , on a :

$V_{\epsilon }(0)\ =\ {\frac {k}{\epsilon }}\ <\ +\ \infty$

Régularisations en théorie quantique des champs

Les calculs de processus de diffusion en théorie quantique des champs perturbative font apparaître des intégrales divergentes dès l'ordre d'une boucle. Pour donner un sens à ces intégrales, plusieurs méthodes sont utilisées.

Régularisation dimensionnelle

Initialement, l'espace-temps physique réel possède une dimension d = 4. La régularisation dimensionnelle consiste en un prolongement analytique de l'intégrale divergente pour des dimensions d'espace-temps d complexes, la fonction obtenue étant méromorphe. Il est alors possible d'étudier la nature de la singularité en d = 4 afin de procéder à une renormalisation par soustraction du terme divergent. La méthode, qui respecte l'unitarité, la causalité et l'invariance de jauge, a été introduite en 1972 par t'Hooft & Veltman^[1], Bollini & Giambiagi^[2], et Ashmore^[3].

Considérons par exemple l'intégrale typique suivante, correspondant à la somme sur la quadri-impulsion p dans une boucle^[4] :

$I(d)\ =\ \int {\frac {d^{d}p}{p^{2}-m^{2}}}\ =\ -\ i\ {\frac {(2\pi )^{d}}{(4\pi )^{d/2}}}\ m^{d-2}\ \Gamma \left(1-{\frac {d}{2}}\right)$

où $\Gamma (z)$ est la fonction gamma d'Euler. Pour étudier la singularité en d = 4, on pose : $\epsilon =4-d$ et on fait un développement asymptotique en zéro :

$\Gamma \left(1-{\frac {d}{2}}\right)\ =\ \Gamma \left({\frac {\epsilon }{2}}-1\right)\ \sim \ -\ {\frac {2}{\epsilon }}\ -\ 1\ +\ \gamma \ +\ O(\epsilon )$

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni. On en déduit que l'intégrale $I(d)$ présente un pôle simple en d = 4 :

$I(d)\ \sim \ {\frac {2\pi ^{2}im^{2}}{4-d}}\ +\ \mathrm {fini}$

Régularisation de Pauli-Villars

Cette méthode consiste à rajouter des particules fictives ou fantômes de masse M à la théorie initiale ; on étudie alors la limite M tendant vers l'infini. Elle a été publiée^[5] en 1949 par Pauli et Villars, basée sur des travaux antérieurs de Feynman, Stueckelberg et Rivier.

Régularisation zêta

Article détaillé : Régularisation zêta.

Notes et références

↑ (en) Gerard t'Hooft et Martinus Veltman, « Regularization and renormalization of gauge fields », Nuclear Physics B, vol. 44, n^o 1,‎ 1^er juillet 1972, pp. 189-213 (DOI 10.1016/0550-3213(72)90279-9).
↑ (en) CG Bollini et JJ Giambiagi, « Lowest order "divergent" graphs in n-dimmensional space », Physics Letter B, vol. 40,‎ 1972, pp. 566-568 (DOI 10.1016/0370-2693(72)90483-2).
↑ (en) JF Ashmore, « A method of gauge invariant regularization », Nuovo Cimento Letters, vol. 4,‎ 1972, pp. 289-290 (DOI 10.1007/BF02824407).
↑ Cet exemple est tiré d'un « modèle-jouet » : la théorie du champ scalaire auto-interagissant $\varphi ^{4}$ . Cette intégrale apparait dans la correction à une boucle du propagateur libre. Les détails du calcul se trouvent par exemple dans : (en) Lewis H Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 1986 (ISBN 978-0-521-33859-2), p. 349.
↑ (en) Wolfgang Pauli et Felix Villars, « On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory », Review of Modern Physics, vol. 21, n^o 3,‎ 1949, pp. 434-444 (DOI 10.1103/RevModPhys.21.434, lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Anthony Zee ; Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, 2010 (ISBN 978-0-691-14034-6)
Silvan S. Schweber ; QED and the men who made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga, Princeton University Press, 1994 (ISBN 978-0-691-03327-3) [1]
Gerard t'Hooft ; This week's Citation Classic (16 avril 1984) pdf

[1] (en) Gerard t'Hooft et Martinus Veltman, « Regularization and renormalization of gauge fields », Nuclear Physics B, vol. 44, n^o 1,‎ 1^er juillet 1972, pp. 189-213 (DOI 10.1016/0550-3213(72)90279-9).

[2] (en) CG Bollini et JJ Giambiagi, « Lowest order "divergent" graphs in n-dimmensional space », Physics Letter B, vol. 40,‎ 1972, pp. 566-568 (DOI 10.1016/0370-2693(72)90483-2).

[3] (en) JF Ashmore, « A method of gauge invariant regularization », Nuovo Cimento Letters, vol. 4,‎ 1972, pp. 289-290 (DOI 10.1007/BF02824407).

[4] Cet exemple est tiré d'un « modèle-jouet » : la théorie du champ scalaire auto-interagissant $\varphi ^{4}$ . Cette intégrale apparait dans la correction à une boucle du propagateur libre. Les détails du calcul se trouvent par exemple dans : (en) Lewis H Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 1986 (ISBN 978-0-521-33859-2), p. 349.

[5] (en) Wolfgang Pauli et Felix Villars, « On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory », Review of Modern Physics, vol. 21, n^o 3,‎ 1949, pp. 434-444 (DOI 10.1103/RevModPhys.21.434, lire en ligne).

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