整数

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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整数（英語：integer）在電腦應用上也稱為整型，是序列${\displaystyle \{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體${\displaystyle Z}$或${\displaystyle \mathbb {Z} }$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z⁺或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z^-或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z⁺₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z^-₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{-}}$）。在数论中自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

下表给出任何整数${\displaystyle a,b,c}$的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	${\displaystyle a+b}$是整数	${\displaystyle a\times b}$是整数
结合律	${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$	${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$
交换律	${\displaystyle a+b=b+a}$	${\displaystyle a\times b=b\times a}$
存在单位元	${\displaystyle a+0=a}$	${\displaystyle a\times 1=a}$
存在逆元	${\displaystyle a+(-a)=0}$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数${\displaystyle a}$关于乘法的逆元为${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$，都不为整数。
分配律	${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是${\displaystyle \mathbb {Z} }$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$同构。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

${\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c<d}$，则${\displaystyle a+c<b+d}$（加法）
• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c>0}$，则${\displaystyle a\times c<b\times c}$；若${\displaystyle c<0}$，则${\displaystyle a\times c>b\times c}$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$的基數（或勢）是ℵ₀，與${\displaystyle \mathbb {N} }$相同。這可以從${\displaystyle \mathbb {Z} }$建立一雙射函數到${\displaystyle \mathbb {N} }$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}$

當該函數的定義域僅限於${\displaystyle \mathbb {Z} }$，則證明${\displaystyle \mathbb {Z} }$與${\displaystyle \mathbb {N} }$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

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