辛群

李群
典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n)
单李群 无限单李群 An, Bn, Cn, Dn 特殊单李群 G2（英语：G2 (mathematics)） F4 E6 E7 E8（英语：E8 (mathematics)）
其他李群（英语：Table of Lie groups） 圓群 勞侖茲群 庞加莱群 共形群（英语：Conformal group） 微分同胚群 圈群（英语：Loop group） 欧几里得群
李代數 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称
半單李代數 丹金图（英语：Dynkin diagram） 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数
群表示论 李群表示 李代数表示（英语：Lie algebra representation）
物理中的李群 粒子物理学与群表示论（英语：Particle physics and representation theory） 洛仑兹群的群表示论（英语：Representation theory of the Lorentz group） 庞加莱群的群表示论（英语：Representation theory of the Poincaré group） 伽利略群的群表示论（英语：Representation theory of the Galilean group）
科学家 索菲斯·李 庞加莱 威廉·基灵 埃利·嘉当 赫尔曼·外尔 克勞德·謝瓦萊 哈里希-钱德拉
查 论 编

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$、複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$或非阿基米德局部域，如p進數域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於${\displaystyle n(2n+1)}$的連通代數群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$是單連通的，而${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$的基本群則同構於${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣${\displaystyle A}$：

${\displaystyle \Omega A+A^{T}\Omega =0}$

其中${\displaystyle A^{T}}$表示${\displaystyle A}$的轉置矩陣，而${\displaystyle \Omega }$是下述反對稱矩陣

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$

緊辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 定義為 ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}}$（${\displaystyle \mathbb {H} }$表四元數）上保持標準埃爾米特形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$

之可逆線性變換。換言之，${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 即四元數上的酉群${\displaystyle \mathrm {U} (n,\mathbb {H} )}$。有時此群也被稱為超酉群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)}$ 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 並不同構於之前定義的 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$。下節將解釋其間的聯繫。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 是 ${\displaystyle n(2n+1)}$ 維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

${\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}$

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

其中 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 有时称为酉辛群，记为 ${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)}$

以上定義之${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$與${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作${\displaystyle C_{n}}$。此李代數也就是複李群${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$之李代數，記作${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )}$。它有兩個不同的實形式：

1. 緊緻形式${\displaystyle \mathrm {sp} (n)}$，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$之李代數。
2. 正規形式${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )}$，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$。

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號
• 哈密顿力学